文档介绍：九年级上册知识点总结
(数学)
2015年2月2日
第二十一章一元二次方程
一元二次方程
知识点一一元二次方程的定义
等号两边都是整式,只含有一个未知数(一元),并且未知数的最高次数是2(二次)的方程,叫做一元二次方程。
注意一下几点:
①只含有一个未知数;②未知数的最高次数是2;③是整式方程。
知识点二一元二次方程的一般形式
一般形式:其中, 是二次项, 是二次项系数; 是一次项,b 是一次项系数;c是常数项。
知识点三一元二次方程的根
使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解,也叫做一元二次方程的根。方程的解的定义是解方程过程中验根的依据。
降次——解一元二次方程
配方法
知识点一直接开平方法解一元二次方程
(1) 如果方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方,另一边是非负数,可以直接开平方。一般地,对于形如的方程,根据平方根的定义可解得.
(2) 直接开平方法适用于解形如或形式的方程,如果 p≥0,就可以利用直接开平方法。
(3) 用直接开平方法求一元二次方程的根,要正确运用平方根的性质,即正数的平方根有两个,它们互为相反数;零的平方根是零;负数没有平方根。
(4) 直接开平方法解一元二次方程的步骤是:①移项;②使二次项系数或含有未知数的式子的平方项的系数为 1;③两边直接开平方,使原方程变为两个一元二次方程;④解一元一次方程,求出原方程的根。
知识点二配方法解一元二次方程
通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法,叫做配方法,配方的目的是降次,把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解。
配方法的一般步骤可以总结为:一移、二除、三配、四开。
(1) 把常数项移到等号的右边;
方程两边都除以二次项系数;
方程两边都加上一次项系数一半的平方,把左边配成完全平方式;
(4) 若等号右边为非负数,直接开平方求出方程的解。
公式法
知识点一公式法解一元二次方程
一般地,对于一元二次方程,如果,那么方程的两个根为,这个公式叫做一元二次方程的求根公式,利用求根公式,我们可以由一元二方程的系数a,b,c 的值直接求得方程的解,这种解方程的方法叫做公式法。
(2) 一元二次方程求根公式的推导过程,就是用配方法解一般形式的一元二次方程的过程。
(3) 公式法解一元二次方程的具体步骤:
①方程化为一般形式:,一般a 化为正值
②确定公式中a,b,c 的值,注意符号;
③求出的值;
④若则把a,b,c 和b-4ac 的值代入公式即可求解,,则方程无实数根。
知识点二一元二次方程根的判别式
式子叫做方程根的判别式,通常用希腊字母△表示它,即,
,方程有两个不相等的实数根
一元二次方程根的判别式
△=0 ,方程有两个相等的实数根
△<0,方程无实数根
因式分解法
知识点一因式分解法解一元二次方程
把一元二次方程的一边化为 0,而另一边分解成两个一次因式的积,进而转化为求两个一元一次方程的解,这种解方程的方法叫做因式分解法。
(2) 因式分解法的详细步骤:
①移项,将所有的项都移到左边,右边化为0;
②把方程的左边分解成两个因式的积,可用的方法有提公因式、平方差公式和完全平方公式;
③令每一个因式分别为零,得到一元一次方程;
④解一元一次方程即可得到原方程的解。
知识点二用合适的方法解一元一次方程
方法名称
理论依据
适用范围
直接开平方法
平方根的意义
形如或
配方法
完全平方公式
所有一元二次方程
公式法
配方法
所有一元二次方程
因式分解法
当ab=0,则a=0 或b=0
一边为0,另一边易于分解成两个一次因式的积的一元二次方程。
一元二次方程的根与系数的关系(了解)
若一元二次方程的两个根为, 则有
若一元二次方程有两个实数根, 则有
实际问题与一元二次方程
知识点一列一元二次方程解应用题的一般步骤:
(1) 审:是指读懂题目,弄清题意,明确哪些是已知量,哪些是未知量以及它们之间的等量关系。
(2) 设:是指设元,也就是设出未知数。
(3) 列:就是列方程,这是关键步骤,一般先找出能够表达应用题全部含义的一个相等含义,然后列代数式表示这个相等关系中的各个量,就得到含有未知数的等式,即方程。
(4) 解:就是解方程,求出未知数的值。
(5) 验:是指检验方程的解是否保证实际问题有意义,符合题意。
(6) 答:写出答案。
知识点二列一元二次方程解应用题的几种常见类型
数字问