文档介绍：九年级上册数学知识点总结
第二十一章二次根式
二次根式
知识点一二次根式的概念
一般地,我们把形如(a≥0)的式子叫做二次根式。二次根式的实质是一个非负数a的算术平方根。其中“”叫做二次根号。
正确理解二次根式的概念,要把握以下几点:
二次根式是在形式上定义的,必须含有二次根号“”。如是二次根式,虽然=2,但2不是二次根式。
被开方数a必须是非负数,即a≥,但式子2是二次根式。
“”的根指数为2,即“”,一般省略根指数2,写作“”,注意,不可误认为根指数是“1”或“0”。
提示:判断是不是二次根式,一看形式,二看数值,即形式上要有二次根号,被开方数要是非负数。
知识点二二次根式的性质
(1)(a≥0)既是二次根式,又是非负数的算术平方根,所以它一定是非负数,即≥(a≥0),我们把这个性质叫做二次根式的非负性。
(2)()2 = a (a≥0),这个性质可以正用,也可以逆用,正用时常用于二次根式的化简和计算,可以去掉根号;逆用时可以把一个非负数写成完整平方数的形式,常用于多项式的因式分解。
(3)2 = a (a≥0),这个性质可以正用,也可以逆用,正用时用于二次根式的化简,即当被开方数能化为完全平方数(式)时,就可以利用该性质去掉根号;逆用时可以把一个非负数化为一个二次根式。
知识点三代数式
定义:用基本运算符号(基本运算包括加、减、乘、除、乘方和开方)把数和表示数的字母连接起来的式子,叫做代数式。
二次根式的乘除
知识点一二次根式的乘法法则
一般地,对二次根式的乘法规定:·=(a≥0,b≥0),即二次根式相乘,把被开方数相乘,根指数不变。
知识点二积的算术平方根的性质
=·(a≥0,b≥0),积的算术平方根等于积中各个因式的算术平方根的积。
知识点三二次根式的除法法则
一般地,对二次根式的除法规定:=(a≥0,b>0),即两个二次根式相除,把被开方数相除,根指数不变。
知识点四商的算术平方根的性质
=(a≥0,b>0),即商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根。
知识点五最简二次根式
必须满足以下两个条件:
被开方数不含分母;
被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。
二次根式的加减
知识点一二次根式的加减
二次根式加减时,可以先将二次根式化成最简二次根式,再将被开方数相同的二次根式合并,二次根式加减法的实质是将被开方数相同的二次根式合并,合并时只把系数相加减,根指数和被开方数不变。
知识点二二次根式的混合运算
二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序相同:先乘方开方,再乘除,最后加减,有括号的先算括号里面的。
在二次根式的运算中乘法法则和乘法公式仍然适用。
第二十二章一元二次方程
一元二次方程
知识点一一元二次方程的定义
等号两边都是整式,只含有一个未知数(一元),并且未知数的最高次数是2(二次)的方程,叫做一元二次方程。
注意一下几点:
只含有一个未知数;②未知数的最高次数是2;③是整式方程。
知识点二一元二次方程的一般形式
一般形式:ax2 + bx + c = 0(a ≠ 0).其中,ax2是二次项,a是二次项系数;bx是一次项,b是一次项系数;c是常数项。
知识点三一元二次方程的根
使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解,也叫做一元二次方程的根。方程的解的定义是解方程过程中验根的依据。
降次——解一元二次方程
配方法
知识点一直接开平方法解一元二次方程
如果方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方,另一边是非负数,可以直接开平方。一般地,对于形如x2=a(a≥0)的方程,根据平方根的定义可解得x1=,x2=.
直接开平方法适用于解形如x2=p或(mx+a)2=p(m≠0)形式的方程,如果p≥0,就可以利用直接开平方法。
用直接开平方法求一元二次方程的根,要正确运用平方根的性质,即正数的平方根有两个,它们互为相反数;零的平方根是零;负数没有平方根。
直接开平方法解一元二次方程的步骤是:①移项;②使二次项系数或含有未知数的式子的平方项的系数为1;③两边直接开平方,使原方程变为两个一元二次方程;④解一元一次方程,求出原方程的根。
知识点二配方法解一元二次方程
通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法,叫做配方法,配方的目的是降次,把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解。
配方法的一般步骤可以总结为:一移、二除、三配、四开。
把常数项移到等号的右边;
方程两边都除以二次项系数;
方程两边都加上一次项系数一半的平方,把左边配成完全平方式;
若等号右边为非负数,直接开平方求出方程的解。