文档介绍：导数题的解题技巧
导数命题趋势:
(1)多项式求导(结合不等式求参数取值范围),和求斜率(切线方程结合函数求最值)问题.
(2)求极值,证明不等式, 函数单调性,应用题,与三角函数或向量结合.
【考点***】
(如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等);掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义;理解导函数的概念.
;掌握两个函数和、差、积、,会求某些简单函数的导数.
;了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号);会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值.
【例题解析】
考点1 导数的概念
对概念的要求:了解导数概念的实际背景,掌握导数在一点处的定义和导数的几何意义,理解导函数的概念.
例1.(2007年北京卷)是的导函数,则的值是 .
[考查目的] 本题主要考查函数的导数和计算等基础知识和能力.
[解答过程]
故填3.
例2. ( 2006年湖南卷)设函数,集合M=,P=,若MP,则实数a的取值范围是( )
A.(-∞,1) B.(0,1) C.(1,+∞) D. [1,+∞)
[考查目的]本题主要考查函数的导数和集合等基础知识的应用能力.
[解答过程]由
综上可得MP时,
考点2 曲线的切线
(1)关于曲线在某一点的切线
求曲线y=f(x)在某一点P(x,y)的切线,即求出函数y=f(x)在P点的导数就是曲线在该点的切线的斜率.
(2)关于两曲线的公切线
若一直线同时与两曲线相切,则称该直线为两曲线的公切线.
典型例题
例3.(2007年湖南文)已知函数在区间,内各有一个极值点.
(I)求的最大值;
(II)当时,设函数在点处的切线为,若在点处穿过函数的图象(即动点在点附近沿曲线运动,经过点时,从的一侧进入另一侧),求函数的表达式.
思路启迪:用求导来求得切线斜率.
解答过程:(I)因为函数在区间,内分别有一个极值点,所以在,内分别有一个实根,
设两实根为(),则,
,,且当,即,.
(II)解法一:由知在点处的切线的方程是
,即,
因为切线在点处空过的图象,
所以在两边附近的函数值异号,则
不是的极值点.
而,且
.
若,则和都是的极值点.
所以,即,又由,得,故.
解法二:同解法一得
.
因为切线在点处穿过的图象,所以在两边附近的函数值异号,于是存在().
当时,,当时,;
或当时,,当时,.
设,则
当时,,当时,;
或当时,,当时,.
由知是的一个极值点,则,
所以,又由,得,故.
例4.(2006年安徽卷)若曲线的一条切线与直线垂直,则的方程为( )
A. B.
C. D.
[考查目的]本题主要考查函数的导数和直线方程等基础知识的应用能力.
[解答过程]与直线垂直的直线为,即在某一点的导数为4,而,所以在(1,1)处导数为4,此点的切线为.
故选A.
例5. ( 2006年重庆卷)过坐标原点且与x2+y2 -4x+2y+=0相切的直线的方程为( )
=-3x或y=x B. y=-3x或y=-x =-3x或y=-x D. y=3x或y=x
[考查目的]本题主要考查函数的导数和圆的方程、直线方程等基础知识的应用能力.
[解答过程]解法1:设切线的方程为
又
故选A.
解法2:由解法1知切点坐标为由
故选A.
, 取何值时,有且只有一条公切线,求出此时公切线的方程.
思路启迪:先对求导数.
解答过程:函数的导数为,曲线在点P()处的切线方程为,即①
曲线在点Q的切线方程是即
②
若直线是过点P点和Q点的公切线,则①式和②式都是的方程,故得
,消去得方程,
若△=,即时,解得,此时点P、Q重合.
∴当时,和有且只有一条公切线,由①式得公切线方程为.
考点3导数的应用
中学阶段所涉及的初等函数在其定义域内都是可导函数,导数是研究函数性质的重要而有力的工具,特别是对于函数的单调性,以
“导数”为工具,能对其进行全面的分析,为我们解决求函数的极值、最值提供了一种简明易行的方法,进而与不等式的证明,讨论方程解的情况等问题结合起来,,应高度重视以下问题:
1.. 求函数的解析式; 2. 求函数的值域; ; (最值);
.
典型例题
例7.(2006年天津卷)函数的定义域为开区间,导函数在内的图象如图所示,则函数在开区间内有极小值点( )