一类人口模型整体解的存在唯一性.pdf

文档介绍：一类人口模型整体解的存在唯一性
陈梁
(绍兴文理学院数学系, 浙江绍兴 312000)

∂p(t, x) ∂p(t, x)
摘要本文讨论了具有竞争因素的偏微分方程人口模型+ = −(d (x) + KP(t))p(t, x) ,
∂t ∂x 1
A
其中初始条件和边界条件分别为 p(0, x) = p0 (x) , p(t,0) = [b1 (ξ) − b2 (ξ)P(t)]p(t,ξ)
∫a
到了方程解的表达式,证明了整体解的存在唯一性.
关键词偏微分方程存在唯一性竞争因素特征线法一致收敛性逐次逼近

§1 引论
20 世纪以来,世界人口高速增长,
,控制人口快速增长是一项艰巨的
,用定量描述方法预测人口发展,对控制人口数量极其有用.
一、历史回顾
对人口定量分析,可追溯到 300 年以前当时的格兰特(John Graunt,1662)、欧拉(Leonhard
Euler,1767) 年,英国经济学家和社会学家马尔萨斯(Thomas
Robert Malthus 1766-1834)发表《人口论》, 其中的人口发展方程是研究人口较早的数学模
型. 马尔萨斯得到人口数量为:
P(t) = Aekt ( A −1)
其中, P(t) 表示第 t 年时的人口数.
马尔萨斯由此得到结论:人口数量是按几何级数增加的. 该模型对 19 世纪以前的人口拟
合得较好,,人口内部竞争和自然资源、
环境条件的的制约的影响将越来越明显, 马尔萨斯没有考虑到这一点,所以该模型是失败的.
二、偏微分方程模型
用偏微分方程模型研究人口数量,是较为成熟,准确的一种方法.
设在一地区内, P(t, x) 表示该地区时刻 t ,年龄小于 x 的人口总数. x 表示年龄, t 表示
时间.
∂P(t, x)
令 p(t, x) = ,称为人口年龄分布密度函数,
∂x
口方程:
∂p(t, x) ∂p(t, x)
+ = −μ(t, x) p(t, x)
∂t ∂x
t = 0 : p(0, x) = p0 (x) ( B −1)
x = 0 : p(t,0) = ϕ(t) = u(t)N(t)
1
M (t, x,Δx) ϕ(t)
其中μ(t, x) = lim ,称为相对死亡率函数. u(t) = ,称为相对出生率函数
Δx→0 p(t, x)Δx N(t)
因为考虑到人口数量是巨大的,此时应该考虑人类自身的竞争因素以及环境影响,人口的
出生率和死亡率将会发生变化,根据前人的经验,我们将( B −1)优化为:
∂p(t, x) ∂p(t, x)
+ = −(d (x) + d (x)P(t)) p(t, x) 0 ≤ x ≤ A,t ≥ 0
∂t ∂x 1 2
t = 0 : p(0, x) = p0 (x) 0 ≤ x < A ( B − 2 )
A
x = 0 : p(t,0) = [b1 (ξ) − b2 (ξ)P(t)]p(t,ξ)dξ t ≥ 0
∫a
这里的 A 为人能活的最大年龄. d1 (x) 为天然死亡率, d 2 (x) 是竞争死亡率. 且
d1 (x) , d 2 (x) ≥ 0 .
A
P(t) = p(t, x)dx .
∫0
本文假设由竞争引起的死亡率对不同年龄的人影响相同,即令 d 2 (x) = K .
本文将运用逐次逼近法得到方程的解,并证明其一致收敛,最后得到整体解的存在唯一
性.

§2 解的存在收敛性
一、解的存在性
本文考虑定解问题:
∂p(t, x) ∂p(t, x)
+ = −(d (x) + KP(t)) p(t, x) 0 ≤ x ≤ A,t ≥ 0 (C −1)
∂t ∂x 1
t = 0 : p(0, x) = p0 (x) 0 ≤ x < A (C − 2 )
A
x = 0 : p(t,0) = [b1 (ξ) − b2 (ξ)P(t)]p(t,ξ)dξ t ≥ 0 (C − 3 )
∫a
A
其中 P(t) = p(t, x)dx
∫0
设成立如下零阶相容性条件:
A
p0 (0) = [b1 (ξ) − b2 (ξ)P(0)]p0 (ξ)dξ(C − 4