文档介绍：第 24 卷第 2 期经济数学 V ol2 N o 2
2 007 年 6 月 M A T H E M A T IC I E C O N O M IC S J un 2007
一类平面微分系统极限环的存在唯一性·
刘兴国’,2,黄立宏’
(,数学与计量经济学院,湖南,长沙,410082;
,信息与计算科学系,湖南,株洲,412008
摘要研究一类平面微分系统的极限环,利用Hopf分支理论得到了该系统极限环存在性与稳定性的若干
充分条件,利用JIALlepkac和Jl H 水YIJIesbbl9 的唯一性定理得到了极限环唯一性的若干充分条件.
关键词微分系统;极限环;唯一性;Hopf分支
中图分类号 0175 .12 文献标识码 A
1 . 引言
关于平面自治微分系统极限环的研究中,已有的研究结果以多项式系统的居多,而非多项
,人们极少用到J1A LIepkac和ii.
H KH.,i eBbb。
d x
d-=告 t,“+COS2·,=P (x,y),
鱼(1)
d= 一 tx + 即+ axe + bxy+ cxy+ 1xez一1)y = 4(二,,),
其中(3 ab,C,A (1)1a-。进行了中心焦点的判定;
借助Dulac 函数法讨论了闭轨的不存在性;根据Hopf分支理论分析了从平衡点分支出极限环
的充分条件和所生成环的稳定性;通过变换将系统转化为 Lienard 方程,再通过构造对比系统
和运用微分方程比较原理来证明J1A LIepkac和JIH xxxnesbblq 的极限环唯一性定理中所要
求的条件,然后依据该定理得到了多种参数条件下极限环的唯一性和稳定性.
2. 平衡点的性态
注意到当一00 < x < 十00 时有
. 2 n
e 二
宋基金项目:国家自然科学基金(10371034)和博士点基金(20050532023)资助项目
收稿日期:2006 - 09 - 08
万方数据
2 0 0 经济数学第 24 卷
1 ( 一1)(2)2-
1 + co2x = = 下干+ 下干‘白— n 一 1
1+告(1+cos) 乙乙 m = 0 又乙m ) 二
(一0 -2m-1 2m
= 2 + 艺
爪二 t (2m ) !
从而系统(1)可写成
十产 d x
1 y 。丁m-2x 2m
d一一 t 一-
万y + 告·‘:·y}m-_ 3(一‘’( 2m ) !
破
十
立. 2 .
- X 2 \ , x
d- t一 a x +
‘十8y + bxy + cex2y + 1x4y 十 A y 厂,二一了·
一了二2 月:
引理1 对于系统(1),当8=0 时,有
( i)若 a = 0,则有限处实奇点只有。(0,0),且一2 < 8 < 0 时为稳定的粗焦点,0 < 8 < 2 时
为不稳定的粗焦点;
( ii)若ao0,则有限处奇点有。(0,0)和,‘告,0)两个,且。(o,o