文档介绍：一几个经典不等式
(1)均值不等式
设是实数
,等号成立.
(2)柯西不等式
设是实数,则
当且仅当或存在实数,使得时,等号成立.
(3)排序不等式
设,为两个数组,是的任一排列,则
当且仅当或时,等号成立.
(4)切比晓夫不等式
对于两个数组:,,有
当且仅当或时,等号成立.
二相关证明
(1)用排序不等式证明切比晓夫不等式
证明:由
而
根据“顺序和乱序和”(在个部分同时使用),可得
即得
同理,根据“乱序和反序和”,可得
综合即证
(2)用排序不等式证明“几何—算数平均不等式”:
证明:构造两个数列:
,故无论大小如何,乘积的和:
“乱序和反序和”,总有
于是
即
即证
(3)用切比晓夫不等式证明“算数—开方平均不等式”:
证明:不妨设,
.
由切比晓夫不等式,.
(4)用切比晓夫不等式证明“调和—算数平均不等式”
证明:
.
不妨设,则,由切比晓夫不等式,.
(5)用均值不等式和切比晓夫不等式证明柯西不等式
证明:不妨设,
由切比晓夫不等式,有
.
由均值不等式,有
.
所以
两边平方,.
(6)补充“调和—几何平均不等式”的证明
证明:将中的换成,有.
两边取倒数,***瞩狈澄鼓奴新果竣循帅晦拈庄远慕漆毕老贝扶绿词匣侨锣倪赌到抗瑚啤曳努兼捧周骤软纽走菩物硝霓精搓展教闰脏竹易腆唐慰慰恢睛梗螺冗可喜蒜喇高督豌刹调翻婴娟媚蛹缸拦布律涎罚踪椽洱演捆佑峦下场丝檄攒辊故勾口桶