经典不等式证明-柯西不等式-排序不等式-切比雪夫不等式-均值不等式.doc

文档介绍：一几个经典不等式
(1)均值不等式
设是实数
,等号成立.
(2)柯西不等式
设是实数,则
当且仅当或存在实数,使得时,等号成立.
(3)排序不等式
设,为两个数组,是的任一排列,则
当且仅当或时,等号成立.
(4)切比晓夫不等式
对于两个数组:,,有
当且仅当或时,等号成立.
二相关证明
(1)用排序不等式证明切比晓夫不等式
证明:由
而
根据“顺序和乱序和”(在个部分同时使用),可得
即得
同理,根据“乱序和反序和”,可得
综合即证
(2)用排序不等式证明“几何—算数平均不等式”:
证明:构造两个数列:
,故无论大小如何,乘积的和:
“乱序和反序和”,总有
于是
即
即证
(3)用切比晓夫不等式证明“算数—开方平均不等式”:
证明:不妨设,
.
由切比晓夫不等式,.
(4)用切比晓夫不等式证明“调和—算数平均不等式”
证明:
.
不妨设,则,由切比晓夫不等式,.
(5)用均值不等式和切比晓夫不等式证明柯西不等式
证明:不妨设,
由切比晓夫不等式,有
.
由均值不等式,有
.
所以
两边平方,.
(6)补充“调和—几何平均不等式”的证明
证明:将中的换成,有.
两边取倒数,