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第二章函数
8、映射观点下的函数概念
如果A,B都是非空的数集,那么A到B的映射f:A→B就叫做A到B的函数,记作y=f(x),其中x∈A,y∈=f(x)的定义域,象的集合C(CB)叫做函数y=f(x)=f(x)表示“y是x的函数”,有时简记作函数f(x).
9、分段函数:在定义域的不同部分,有不同的对应法则的函数。如
10、求函数的定义域的原则:(解决任何函数问题,必须要考虑其定义域)
①分式的分母不为零;
②偶次方根的被开方数大于或等于零;
③对数的底数大于0且不等于1;
④对数的真数大于0;
⑤指数为0的底不能为零;,则
11、函数的奇偶性(在整个定义域内考虑)
(1)奇函数满足, 奇函数的图象关于原点对称;
(2)偶函数满足, 偶函数的图象关于y轴对称;
注:①具有奇偶性的函数,其定义域关于原点对称; ②若奇函数在原点有定义,则
③根据奇偶性可将函数分为四类:奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数。
12、函数的单调性(在定义域的某个区间内考虑)
当时,都有,则在该区间上是增函数,图象从左到右上升;
当时,都有,则在该区间上是减函数,图象从左到右下降。
函数在某区间上是增函数或减函数,那么说在该区间具有单调性,该区间叫做单调(增/减)区间
13、一元二次方程
(1)求根公式: (2)判别式:
(3)时方程有两个不等实根;时方程有一个实根;时方程无实根。
(4)根与系数的关系——韦达定理:,
14、二次函数:一般式; 两根式
x
y
0
(1)顶点坐标为;(2)对称轴方程为:x=;
(3)当时,图象是开口向上的抛物线,在x=处取得最小值
当时,图象是开口向下的抛物线,在x=处取得最大值
(4)二次函数图象与轴的交点个数和判别式的关系:
时,有两个交点;时,有一个交点(即顶点);时,无交点。
15、函数的零点
使的实数叫做函数的零点。例如是函数的一个零点。
注:函数有零点函数的图象与轴有交点方程有实根
16、函数零点的判定:
如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线,并且有。那么,函数在区间内有零点,即存在。
17、分数指数幂(,且)
(1).如;(2) . 如;(3);
(4)当为奇数时,; 当为偶数时,.
18、有理指数幂的运算性质()
(1); (2); (3)
x
y
0
1
y
图
象
1
0
x
性
质
(1)定义域:R
(2)值域:(0,+∞)
(3)过定点(0,1),即x=0时,y=1
(4)在 R上是增函数
(4)在R上是减函数
19、指数函数(且),其中是自变量,叫做底数,定义域是R
20、若,则叫做以为底的对数。记作:(,)
其中,叫做对数的底数,叫做对数的真数。
注:指数式与对数式的互化公式:
21、对数的性质
(1)零和负数没有对数,即中;
(2)1的对数等于0,即;底数的对数等于1,即
22、常用对数:以10为底的对数叫做常用对数,记为:
自然对数:以e(e=…)为底的对数叫做自然对数,记为:
23、对数恒等式:
24、对数的运算性质(a>0,a≠1,M>0,N>0)
(1); (2) ;
(3) (注意公式的逆用)
25、对数的换底公式(,且,,且, ).
推论①或; ②.
26、对数函数(,且):其中,是自变量,叫做底数,定义域是
图像
x
1
y
0
1
x
0
性质
定义域:(0, ∞)
值域:R
过定点(1,0)
增函数
减函数
取值范围
0<x<1时,y<0
x>1时,y>0
0<x<1时,y>0
x>1时,y<0
27、指数函数与对数函数互为反函数;它们图象关于直线对称.
28、幂函数(),其中是自变量。要求掌握这五种情况(如下图)
29、幂函数的性质及图象变化规律:
(Ⅰ)所有幂函数在(0,+∞)都有定义,并且图象都过点(1,1);
(Ⅱ)当时,幂函数的图象都通过原点,并且在区间上是增函数.
(Ⅲ)当时,幂函数的图象在区间上是减函数.
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30、边长为的等边三角形面积
31、柱体体积:, 锥体体积:
球表面积公式:, 球体积公式:(上述四个公式不要求记忆)
32、四个公理:
①如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内。
②过不在一条直线上的三点,有且仅有一个平面。
③如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且仅有一条过该点的公共直线。
④平行于同一直线的两条直线平行(平行的传递性)。
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33、等角