文档介绍：斐波那契与斐波那契数列(初一、初二、初三)
(519015)广东省珠海市第四中学陈湘平
斐波那契(Leonardo i,约1170-约1250),12、13世纪欧洲数学界的代表人物,生于比萨的列奥纳多家族,是一位意大利海关设在南部非洲布吉亚的官员的儿子。早年在北非受教育,由于他父亲的工作,成年后曾到埃及、叙利亚、希腊西西里、法国等地游学,并拜访过各地著名的学者,也熟悉了各国在商业上的所用的算术体系,掌握了印度-阿拉伯的十进制系统,该系统具有位置值并使用了零的符号。斐波那契看到了这种美丽的印度-阿拉伯数字的价值,并积极提倡使用它们。1202年他写了《算盘书》一书( 注:“算盘”指的是当时欧洲人用来计算的沙盘,而非中国的算盘),这是一本广博的工具书,其中说明了怎样应用印度-阿拉伯数字,以及如何用它们进行加、减、乘、除计算和解题。此外还对代数和几何进行了进一步的探讨。此外他还出版了《几何实****等书,书中首次引用了阿拉伯数字,这对当时盛行的罗马数字来讲也是一种挑战。后来人们通过对阿拉伯数字的不断接触,加上斐波那契和其他数学家的工作,终于使印度-阿拉伯数字系统被慢慢地接受,并得以推广。
很有意思的是,斐波那契在今天的出名,是缘于一个数列,而这个数列则来自于他的《算盘书》中一道并不出名的问题。他当时写这道题只是考虑作为一个智力练****然而,到了19世纪,法国数学家E.
卢卡斯出版了一部四卷本的有关娱乐数学方面的著作时,才把斐波那契的名字,加到该问题的解答和所出现的数列上去。
《算盘书》中“兔子问题”,题目假定一对大兔子(一雌一雄)每一个月可以生一对小兔子(一雌一雄),而小兔子出生后两个月就有生育能力,问从一对小兔子开始, 一年后能繁殖成多少对兔子?”由此引出了一个重要的数列――“斐波那契数列”:1,1,2,3,5,8,13,21,…,其规律是每一项(从第3项起)都是前两项的和。
斐波那契用顺推的办法解算如下:
第一个月:只有一对小兔。
第二个月:小兔尚未成熟,仍然是一对兔子。
第三个月:这对兔子生了一对小兔,这时共有兔子两对。
第四个月:原来的兔子又生了一对小兔,但上月出生的小兔仍未成熟,这样小兔共有三对。
…………
如此分析下去,可以得到一年后的兔子数为144对。
上面顺推的办法着实有点笨,下面我们换一种思路推推看,我们容易发现:
从第三个月起兔子可以分为两类:一类是上个月的兔子,一类是当月新生的兔子,而这些兔子的对数恰好等于前两个月时的兔子对数,因为那个月份的的兔子在该月均能生小兔,这就是说:
从第三个月起每月兔子数均为前两个月(上月和上上月)的兔子对数之和。这样一、二、三……诸月兔子数依次为:
1,1,2(=1+1),3(=1+2),5(=2+3),8(=3+5),13(=5+8),21(=8+13),……
如此一来,我们不仅能算得一年后的兔子数,还可以算出若干年后的兔子数。
斐波那契数列1,1,2,3,5,……有许多有趣的性质(详见:《斐波那契数列》,吴振奎编著,辽宁教育出版社,1987)比如:
(1)从第三项开始,每一项都是它前面两项的和:
13=5+8,34=13+21,……
(2)……
=,=,=,=,=,……
(3)数列的通项公