文档介绍：难点25 圆锥曲线综合题
圆锥曲线的综合问题包括:解析法的应用,与圆锥曲线有关的定值问题、最值问题、参数问题、应用题和探索性问题,圆锥曲线知识的纵向联系,圆锥曲线知识和三角、复数等代数知识的横向联系,解答这部分试题,需要较强的代数运算能力和图形认识能力,要能准确地进行数与形的语言转换和运算,推理转换,并在运算过程中注意思维的严密性,以保证结果的完整.
●难点磁场
(★★★★)若椭圆=1(a>b>0)与直线l:x+y=1在第一象限内有两个不同的交点,求a、b所满足的条件,并画出点P(a,b)的存在区域.
●案例探究
[例1]已知圆k过定点A(a,0)(a>0),圆心k在抛物线C:y2=2ax上运动,MN为圆k在y轴上截得的弦.
(1)试问MN的长是否随圆心k的运动而变化?
(2)当|OA|是|OM|与|ON|的等差中项时,抛物线C的准线与圆k有怎样的位置关系?
命题意图:本题考查圆锥曲线科内综合的知识及学生综合、灵活处理问题的能力,属
★★★★★级题目.
知识依托:弦长公式,韦达定理,等差中项,绝对值不等式,一元二次不等式等知识.
错解分析:在判断d与R的关系时,x0的范围是学生容易忽略的.
技巧与方法:对第(2)问,需将目标转化为判断d=x0+与R=的大小.
解:(1)设圆心k(x0,y0),且y02=2ax0,
圆k的半径R=|AK|=
∴|MN|=2=2a(定值)
∴弦MN的长不随圆心k的运动而变化.
(2)设M(0,y1)、N(0,y2)在圆k:(x-x0)2+(y-y0)2=x02+a2中,
令x=0,得y2-2y0y+y02-a2=0
∴y1y2=y02-a2
∵|OA|是|OM|与|ON|的等差中项.
∴|OM|+|ON|=|y1|+|y2|=2|OA|=2a.
又|MN|=|y1-y2|=2a
∴|y1|+|y2|=|y1-y2|
∴y1y2≤0,因此y02-a2≤0,即2ax0-a2≤0.
∴0≤x0≤.
圆心k到抛物线准线距离d=x0+≤a,而圆k半径R=≥a.
且上两式不能同时取等号,故圆k必与准线相交.
[例2]如图,已知椭圆=1(2≤m≤5),过其左焦点且斜率为1的直线与椭圆及其准线的交点从左到右的顺序为A、B、C、D,设f(m)=||AB|-|CD||
(1)求f(m)的解析式;
(2)求f(m)的最值.
命题意图:本题主要考查利用解析几何的知识建立函数关系式,并求其最值,★★★★★级题目.
知识依托:直线与圆锥曲线的交点,韦达定理,根的判别式,利用单调性求函数的最值.
错解分析:在第(1)问中,要注意验证当2≤m≤5时,直线与椭圆恒有交点.
技巧与方法:第(1)问中,若注意到xA,xD为一对相反数,则可迅速将||AB|-|CD||(2)问,利用函数的单调性求最值是常用方法.
解:(1)设椭圆的半长轴、半短轴及半焦距依次为a、b、c,则a2=m,b2=m-1,c2=a2-b2=1
∴椭圆的焦点为F1(-1,0),F2(1,0).
故直线的方程为y=x+1,又椭圆的准线方程为x=±,即x=±m.
∴A(-m,-m+1),D(m,m+1)
考虑方程组,消去y得:(m-1)x2+m(x+1)2=m(m-1)