1996年考研数学二试题及答案.doc

文档介绍：1996年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,.)
(1) 设,则______.
(2) ______.
(3) 微分方程的通解为______.
(4) ______.
(5) 由曲线及所围图形的面积______.
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)
(1) 设当时,是比高阶的无穷小,则( )
(A) (B)
(C) (D)
(2) 设函数在区间内有定义,若当时,恒有,则必是的( )
(A) 间断点(B) 连续而不可导的点
(C) 可导的点,且(D) 可导的点,且
(3) 设处处可导,则( )
(A) 当,必有
(B) 当,必有
(C) 当,必有
(D) 当,必有
(4) 在区间内,方程( )
(A) 无实根(B) 有且仅有一个实根
(C) 有且仅有两个实根(D) 有无穷多个实根
(5) 设在区间上连续,且(为常数),由曲线
及所围平面图形绕直线旋转而成的旋转体体积为( )
(A)
(B)
(C)
(D)
三、(本题共6小题,每小题5分,满分30分.)
(1) 计算.
(2) 求.
(3) 设其中具有二阶导数,且,求.
(4) 求函数在点处带拉格朗日型余项的阶泰勒展开式.
(5) 求微分方程的通解.
(6) 设有一正椭圆柱体,其底面的长、短轴分别为,用过此柱体底面的短轴与底面成角()的平面截此柱体,得一锲形体(如图),求此锲形体的体积.
四、(本题满分8分)
计算不定积分.
五、(本题满分8分)
设函数
(1) 写出的反函数的表达式;
(2) 是否有间断点、不可导点,若有,指出这些点.
六、(本题满分8分)
设函数由方程所确定,试求的驻点,并判别它是否为极值点.
七、(本题满分8分)
设在区间上具有二阶导数,且,,试证明:存在和,使及.
八、(本题满分8分)
设为连续函数,
(1) 求初值问题的解,其中为正的常数;
(2) 若(为常数),证明:当时,有.
1996年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.)
(1)【答案】
【解析】.
(2)【答案】
【解析】注意到对称区间上奇偶函数的积分性质,有
原式.
【相关知识点】对称区间上奇偶函数的积分性质:
若在上连续且为奇函数,则;
若在上连续且为偶函数,则.
(3)【答案】
【解析】因为是常系数的线性齐次方程,其特征方程有一对共轭复根故通解为.
(4)【答案】
【解析】因为时,(为常数),所以,
原式.
(5)【答案】
2
1
2
x
y
O
【解析】曲线的交点是,当时
(单调上升)在上方,于是
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.)
(1)【答案】(A)
【解析】方法1:
,
可得应选(A).
方法2:
有
又由.
应选(A).
(2)【答案】(C)
【解析】方法一:首先,当时,.
而按照可导定义我们考察
,
由夹逼准则, ,故应选(C).
方法二:显然,,由,,得,即有界,且
.
故应选(C).
方法三:排除法.
令故(A)、(B)、(D)均不对,应选(C).
【相关知识点】定理:有界函数与无穷小的乘积是无穷小.
(3)【答案】(D)
【解析】方法一:,则(A),(C)不对;又令,则(B)(D).
方法二:由,对于,存在,使得当时,.
由此,当时,由拉格朗日中值定理,
,
从而有,故应选择(D).
【相关知识点】拉格朗日中值定理:如果函数满足
(1) 在闭区间上连续;
(2) 在开区间内可导,
那么在内至少有一点(),使等式
成立.
(4)【答案】(C)
【解析】令,则,故是偶函数,考察在内的实数个数:
().
首先注意到,当时,由零值定理,函数必有零点,且由
,
在单调递增,故有唯一零点.
当时,没有零点;
因此,,(C).
【相关知识点】零点定理:设函数在闭区间上连续,且与异号(即
),那么在开区间内至少有一点,使.
(5)【答案】(B)
【解析】
见上图,作垂直分割,相应于的小竖条的体积微元
,
于是,
故选择(B).
三、(本题共6小题,每小题5分,满分30分.)
(1)【解析】方法一:换元法.
令,则,
所以
.
方法二:换元法.
令,则,,

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