文档介绍：全国高中数学联赛模拟试题(十)
(命题人:杨建忠审题人:李潜)
第一试
一、选择题:(每小题6分,共36分)
设集合M={-2,0,1},N={1,2,3,4,5},映射f:M→N使对任意的x∈M,都有x+f(x)+xf(x)是奇数,则这样的映射f的个数是
(A)45 (B)27 (C)15 (D)11
已知sin2q=a,cos2q=b,0<q<,给出值的五个答案:
①; ②; ③; ④;
⑤.
其中正确的是:
(A)①②⑤ (B)②③④ (C)①④⑤ (D)③④⑤
若干个棱长为2、3、5的长方体,依相同方向拼成棱长为90的正方体,则正方体的一条对角线贯穿的小长方体的个数是
(A)64 (B)66 (C)68 (D)70
递增数列1,3,4,9,10,12,13,…,由一些正整数组成,它们或者是3的幂,或者是若干个3的幂之和,则此数列的第100项为
(A)729 (B)972 (C)243 (D)981
(其中,[x]表示不超过x的最大整数)的值为
(A) (B)
(C) (D)
一个五位的自然数称为“凸”数,当且仅当它满足a<b<c,c>d>e(如12430,13531等),则在所有的五位数中“凸”数的个数是
(A)8568 (B)2142 (C)2139 (D)1134
二、填空题:(每小题9分,共54分)
过椭圆上任意一点P,作椭圆的右准线的垂线PH(H为垂足),并延长
PH到Q,使得HQ=lPH(l≥1).当点P在椭圆上运动时,点Q的轨迹的离心率的取值范围是.
已知异面直线a、b所成的角为60°,过空间一点P作与a、b都成角a(0<a<90°)的直线l,则这样的直线l的条数是f(a)= .
不等式的解集为.
设复数z满足条件|z-i|=1,且z≠0,z≠2i,又复数w使得为实数,则复数w-2的辐角主值的取值范围是.
设a1,a2,…,a2002均为正实数,且,则a1a2…a2002的最小值是.
在一个由十进制数字组成的数码中,如果它含有偶数个数字8,则称它为“优选”数码(如12883,787480889等),否则称它为“非优选”数码(如2348756,958288等),则长度不超过n(n为自然数)的所有“优选”数码的个数之和为.
三、(20分)
已知数列{an}是首项为2,公比为的等比数列,且前n项和为Sn.
用Sn表示Sn+1;
是否存在自然数c和k,使得>2成立.
四、(20分)
设异面直线a、b成60°角,它们的公垂线段为EF,且|EF|=2,线段AB的长为4,两端点A、B分别在a、.
五、(20分)
已知定义在R+上的函数f(x)满足
(i)对于任意a、b∈R+,有f(ab)=f(a)+f(b);
(ii)当x>1时,f(x)<0;
(iii)f(3)=-1.
现有两个集合A、B,其中集合A={(p,q)|f(p2+1)-f(5q)-2>0,p、q∈R+