文档介绍：《代数学》辅导纲要
代数运算与自然数
主要内容:
1、集合与映射的概念
2、映射及其运算
3、代数系统
4、自然数及其他相关定义
5、归纳法原理与反归纳法的运用
重点掌握
1、由A→B的单映射σ的定义为:设,就推出,则称为从A到B的单映射。
2、由A→B的满映射σ的定义为:设,则称为从A到B的满映射。
3、给出一个由整数集合Z到自然数集合N的双射:可考虑分段映射,即将定义域分为小于0、等于0、大于0的整数三部分分别给出其象
4、若集合|A|=n,则集合A→A的映射共有种。
5、皮阿罗公理中没有前元的元素为1。
6、自然数a与b加法的定义中两个条件为①:②:.
7、自然数a与b相乘的定义中两个条件为: ①:;②:
8、自然数a>b的定义为:如果给定的两个自然数a与b存在一个数k,使得a=b+k,则称a大于b,b小于a,记为a>b或b<a.
9、皮阿罗公理中的归纳公式为:具有下面性质的自然数的任何集合M若满足:(1)如果a属于M,则它后面的数a’,即M=N.
10、在整数集合中求两个数的最大公因数是代数运算。
11、若|A|=m,|B|=n,则A→B的所有不同映射的个数为。
12、若A是有限集合,则A→A的不同映射个数为:。
13、从整数集合Z到自然数集合N存在一个单映射。
14、若A是有限集合,则不存在A到其真子集合的单映射。
15、若A为无限集合,则存在A的真子集合B使其与A等价。
16、存在从自然数集合N到整数集合Z的一个满映射,但不是单映射。
可考虑将定义域分成奇数、偶数两部分,定义一个与有关的映射
17、存在从自然数N到整数集合Z的双射。
可考虑分段映射
18、代数系统(,)与代数系统(R,+)是同构的,其中表示正实数集合,R表示实数集合,与+就是通常的实数乘法与加法。
根据同构定义,只需找到一个从(,)到(R,+)的一一映射,例如lgx就可以证明上述论述。
19、令为正有理数集合,若规定, 则:
(1){,}构成代数体系,但不满足结合律。
(2){,}不构成代数体系,但满足结合律。
根据代数体系和结合律的定义可得上述论述成立。
20、若在实数集合中规定=a+b-a×b,其中+与×是通常的加法与乘法,则满足结合律。
只需证明等式()c=成立
21、分别利用归纳法与反归纳法可以证明n个数的算术平均值大于等于这n个数的几何平均值。
归纳法根据定义易证,在运用反归纳法证明时可先证n=2,4,…,都成立,假设命题对n=k成立,令,利用证之成立
不等式
主要内容:
1、一些初等不等式的证明
2、几个著名不等式:柯西不等式、赫勒德尔不等式、明可夫斯基不等式的证明
3、均值不等式、柯西不等式等常用不等式的应用
4、凸函数的性质与应用
重点掌握:
1、等号成立的条件为:
2、柯西不等式等号成立的条件为:
3、f(x)为上凸函数的定义为:对任意的有:,其中,则称f(x)为上凸函数。
4、f(x)=(x>0),g(x)=sin x(0<x<),k(x)=㏑x 中,上凸函数为:f(x)=,g(x)=sin x, k(x)=㏑(x)
5、f(x)=(其中x>0),则当0<k<1时,f(x)为下凸函数。
6、y=lg x则y是上凸函数.
7、函数(其中0<x<)和=㏑x为上凸函数,=(其中,k>1)为下凸函数。
8、
9、不等式()(++……),其中0,i=1,2,……n成立。
可利用柯西不等式证之成立
10、若a>b>c>0且a+b+c=1,则2abc存在极大值,为;若已知a×b×c=1,则2a+b+4c存在极小值,为6。
利用均值不等式(算术平均值大于等于几何平均值)可算得2abc极大值为,2a+b+4c的极小值为6.
11、若x>0,y>0,z>0且满足9+12+5=9 ,则3x+6y+5z存在极大值,为9。
利用柯西不等式易知3x+6y+5z的极大值为9,其中。
12、若x>0,y>0,z>0且满足3++=15,则2x+3y+4z存在极大值,为:。
利用柯西不等式易知2x+3y+4z的极大值为,其中。
13、若x>0,y>0,z>0且满足3+4+5=20 ,则9x+16y+7z存在极大值,为:。
利用柯西不等式易知9x+16y+7z的极大值为,其中。
14、若x>0,y>0,z>0。且满足2+3+4=10,则5x+6y+7z存在极大值,为:。
利用柯西不等式易知5x+6y+7z的极大值为,其中。
15、若x>0,y>0,z>0。且满足+2+3=15,则2x+3y+4z存在极大值,为:
。
利用柯西不等式易知2x+3y+4z的极大值为,其中。
16、若x>0,y>0,z