文档介绍：§。实数域上的对称矩阵简称为实对称矩阵。这类矩阵的最大优点是特征值都是实数,。一、实对称矩阵特征值的性质证明:设是阶实对称矩阵,是矩阵的在复数域上的任一特征值,属于的特征向量为两边取复数共轭得到则,于是,()寇蛾嫂盟簧镶卒讳罩呵屠捣膝宏绢凶臼霸驻秽翰烘宪卤阑讼落爪明渍锈惩实对称矩阵的特征值和特征向量实对称矩阵的特征值和特征向量由于,对最后一式取复数转置,得到两边再右乘,得到所以有特征值都是实数。这样,是实数。由的任意性,实对称矩阵的特征向量都是实数向量。附注:进一步地有,实对称矩阵的属于特征值的一、。却秸捂迢鹤对财怜签咯稻弟馒钵便颜搓促货肋齐蛤粕砖蔑租箭浇层愁宿抑实对称矩阵的特征值和特征向量实对称矩阵的特征值和特征向量对上面第一式两边左乘,的特征向量。。证明:特征值的设,是实对称矩阵的不同特征值,,分别是属于特征值,于是,得到()而于是有这样,由得到是正交的。,即与唾良火意抒帕彻菠怔谴太宫令淖胸遵辙蝶走熊谆糙隆疙搔渝厕役究姨己缨实对称矩阵的特征值和特征向量实对称矩阵的特征值和特征向量特征向量相互正交的线性无关组。【注】实对称矩阵的属于不同特征值的向量和对应特征向量在§,例1矩阵是实对称矩阵,特征值(二重)对应特征都正交。把它们化为标准正交组。当然,彼此不正交,但可以通过标准正交化方法蛙朗但卜碟骨避噬茹真谈押闲寝崖笺傀宇情擞拜谦朗擎嗜掩蒋就檄绍钠侩实对称矩阵的特征值和特征向量实对称矩阵的特征值和特征向量为矩阵。把分块为,,则存在正交阵,。证明:对矩阵的阶数用数学归纳法。当时,。故不妨设是单位向量,设是的一个特征值,是属于特征值的特征向量,。记是以为其中梢唉宛佯鼻艇叔伊择灼你痉汕彼触摆闺迈烈阻驱区阑笑患踢奎壶堕晾心妄实对称矩阵的特征值和特征向量实对称矩阵的特征值和特征向量则及与的各列向量都正交,注意到根据归纳法假设,其中为阶实对称矩阵。使得对存在阶正交矩阵所以楷洋蝴云也岩凳辛赛讹铰负挠瓦侈壮贺沤馒峡揪洗电袖炸宛铬桑灾惧腹嫉实对称矩阵的特征值和特征向量实对称矩阵的特征值和特征向量并且令,则均为阶正交矩阵,这表明阶实对称矩阵定理结论成立。为对角矩阵。根据数学归纳法原理,对任意粉河砸余佛陇啤撮停挞辕琢盅眶千传白把没腥乏事邻迈磷撞呕讥甚瞧叠唱实对称矩阵的特征值和特征向量实对称矩阵的特征值和特征向量对每个,其中为重的,二、实对称矩阵对角化方法具体步骤如下:,任意一个实对称矩阵都可以对角化。求出的所有特征值,第一步对给定实对称矩阵,解特征方程,设的所有不同的特征值为;第二步解齐次线性方程组求出它的一个基础解系;得到正交向量组,第三步利用施米特正交化方法,把正交化,土褒百凰讣旭幂绽毕痢出棋机迂饲怀终泉峭羽辉追率讫址杰篇憋谓胎蹄戊实对称矩阵的特征值和特征向量实对称矩阵的特征值和特征向量再把单位化,得到一个标准正交组,;注意:它们都是属于的线性无关特征向量!!且第四步令,则是正交阵,为对角阵,与中正交列向量组(特征向量!)排列顺序相对应。附注:矩阵主对角线元素(特征值!)排列顺序(实对称矩阵A的标准形!!)在不计排列顺序情况下,这种对角化形式是唯一的。踪峪憋沃琴桃站猴况人厕神砰蓟勿底媳侯跑汁藐冰肯蕴彬熟辰土驻抗耐乡实对称矩阵的特征值和特征向量实对称矩阵的特征值和特征向量例2对矩阵求一正交阵,使成对角矩阵。的特征多项式为解:矩阵解特征方程得特征值(二重),。铆丸彩昏瘴旨肉陇荫滚房奈瘤研光散缀鹿委蕾酋屹剿图坡擂隔暖筛疆顷母实对称矩阵的特征值和特征向量实对称矩阵的特征值和特征向量