文档介绍：线性代数知识点总结
1 行列式
(一)行列式概念和性质
1、逆序数:所有的逆序的总数
2、行列式定义:不同行不同列元素乘积代数和
3、行列式性质:(用于化简行列式)
(1)行列互换(转置),行列式的值不变
(2)两行(列)互换,行列式变号
(3)提公因式:行列式的某一行(列)的所有元素都乘以同一数k,等于用数k乘此行列式
(4)拆列分配:行列式中如果某一行(列)的元素都是两组数之和,那么这个行列式就等于两个行列式之和。
(5)一行(列)乘k加到另一行(列),行列式的值不变。
(6)两行成比例,行列式的值为0。
(二)重要行列式
4、上(下)三角(主对角线)行列式的值等于主对角线元素的乘积
5、副对角线行列式的值等于副对角线元素的乘积乘
6、Laplace展开式:(A是m阶矩阵,B是n阶矩阵),则
7、n阶(n≥2)范德蒙德行列式
数学归纳法证明
★8、对角线的元素为a,其余元素为b的行列式的值:
(三)按行(列)展开
9、按行展开定理:
(1)任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和等于行列式的值
(2)行列式中某一行(列)各个元素与另一行(列)对应元素的代数余子式乘积之和等于0
(四)行列式公式
10、行列式七大公式:
(1)|kA|=kn|A|
(2)|AB|=|A|·|B|
(3)|AT|=|A|
(4)|A-1|=|A|-1
(5)|A*|=|A|n-1
(6)若A的特征值λ1、λ2、……λn,则
(7)若A与B相似,则|A|=|B|
(五)克莱姆法则
11、克莱姆法则:
(1)非齐次线性方程组的系数行列式不为0,那么方程为唯一解
(2)如果非齐次线性方程组无解或有两个不同解,则它的系数行列式必为0
(3)若齐次线性方程组的系数行列式不为0,则齐次线性方程组只有0解;如果方程组有非零解,那么必有D=0。
2 矩阵
(一)矩阵的运算
1、矩阵乘法注意事项:
(1)矩阵乘法要求前列后行一致;
(2)矩阵乘法不满足交换律;(因式分解的公式对矩阵不适用,但若B=E,O,A-1,A*,f(A)时,可以用交换律)
(3)AB=O不能推出A=O或B=O。
2、转置的性质(5条)
(1)(A+B)T=AT+BT
(2)(kA)T=kAT
(3)(AB)T=BTAT
(4)|A|T=|A|
(5)(AT)T=A
(二)矩阵的逆
3、逆的定义:
AB=E或BA=E成立,称A可逆,B是A的逆矩阵,记为B=A-1
注:A可逆的充要条件是|A|≠0
4、逆的性质:(5条)
(1)(kA)-1=1/k·A-1 (k≠0)
(2)(AB)-1=B-1·A-1
(3)|A-1|=|A|-1
(4)(AT)-1=(A-1)T
(5)(A-1)-1=A
5、逆的求法:
(1)A为抽象矩阵:由定义或性质求解
(2)A为数字矩阵:(A|E)→初等行变换→(E|A-1)
(三)矩阵的初等变换
6、初等行(列)变换定义:
(1)两行(列)互换;
(2)一行(列)乘非零常数c
(3)一行(列)乘k加到另一行(列)
7、初等矩阵:单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵。
8、初等变换与初等矩阵的性质:
(1)初等行(列)变换相当于左(右)乘相应的初等矩阵
(2)初等矩阵均为可逆矩阵,且Eij-1=Eij(i,j两行互换);
Ei-1(c)=Ei(1/c)(第i行(列)乘c)
Eij-1(k)=Eij(-k)(第i行乘k加到j)
★(四)矩阵的秩
9、秩的定义:非零子式的最高阶数
注:(1)r(A)=0意味着所有元素为0,即A=O
(2)r(An×n)=n(满秩)←→|A|≠0 ←→A可逆;
r(A)<n←→|A|=0←→A不可逆;
(3)r(A)=r(r=1、2、…、n-1)←→r阶子式非零且所有r+1子式均为0。
10、秩的性质:(7条)
(1)A为m×n阶矩阵,则r(A)≤min(m,n)
(2)r(A±B)≤r(A)±(B)
(3)r(AB)≤min{r(A),r(B)}
(4)r(kA)=r(A)(k≠0)
(5)r(A)=r(AC)(C是一个可逆矩阵)
(6)r(A)=r(AT)=r(ATA)=r(AAT)
(7)设A是m×n阶矩阵,B是n×s矩阵,AB=O,则r(A)+r(B)≤n
11、秩的求法:
(1)A为抽象矩阵:由定义或性质求解;
(2)A为数字矩阵:A→初等行变换→阶梯型(每行第一个非零元素下面的元素均为0),则r(A)=非零行的行数
(五)伴随矩阵
12、伴随矩阵的性质:(8条)
(1)AA*=A*A=|A|E →★A*=|A|A-1
(2)(kA)*