文档介绍：:元素是函数关系中自变量的取值?还是函数值的取值?还是曲线上的点?…;
:解题时要尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦恩图等工具,将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化,然后利用数形结合的思想方法解决;
包含关系:
等价关系:
集合的运算律:
A∩ðUA=φ A∪ðUA=U ðUU=φðUφ=U ðUU(ðUA)=A
ðU(A∩B)= (ðUA)∪(ðUB) ðU(A∪B)= (ðUA)∩(ðUB)
(4) 元素与集合的关系:,.
注意:讨论的时候不要遗忘了的情况.
(5) 集合的子集个数共有个;真子集有–1个;
非空子集有–1个;非空真子集有–2个.
,是任何非空集合的真子集.
(容斥原理):
例1. (2009陕西卷)某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组,每名同学至多参加两个小组,已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26,15,13,同时参加数学和物理小组的有6人,同时参加物理和化学小组的有4人,则同时参加数学和化学小组的有人。
答案:8.
解析:由条件知,每名同学至多参加两个小组,故不可能出现一名同学同时参加数学、物理、化学课外探究小组, 设参加数学、物理、化学小组的人数构成的集合分别为,则. .
,
由公式
易知36=26+15+13-6-4- 故=8 即同时参加数学和化学小组的有8人.
.
课后练****br/>1.(2010辽宁文数)(1)已知集合,,则
(A) (B) (C) (D)
2.(2010陕西文数)={x-1≤x≤2},B={xx<1},则A∩B= [D]
(A){xx<1} (B){x-1≤x≤2}
(C) {x-1≤x≤1} (D) {x-1≤x<1}
3.(2010浙江理数)(1)设P={x︱x<4},Q={x︱<4},则
(A) (B) (C) (D)
4.(2010安徽文数)(1)若A=,B=,则=
(A)(-1,+∞) (B)(-∞,3) (C)(-1,3) (D)(1,3)
5.(2010天津文数)(7)设集合则实数a的取值范围是
(A) (B)
(C) (D)
第二部分函数
(1)映射是“‘全部射出’加‘一箭一雕’”;映射中第一个集合中的元素必有像,但第二个集合中的元素不一定有原像(中元素的像有且仅有下一个,但中元素的原像可能没有,也可任意个);函数是“非空数集上的映射”,其中“值域是映射中像集的子集”.
(2)函数图像与轴垂线至多一个公共点,但与轴垂线的公共点可能没有,也可任意个.
(3)函数图像一定是坐标系中的曲线,但坐标系中的曲线不一定能成为函数图像.
(4)原函数与反函数有两个“交叉关系”:自变量与因变量、,分三步:逆解、交换、定域(确定原函数的值域,并作为反函数的定义域).
注意:①,,,
但.
②函数的反函数是,而不是.
③指数函数与对数函数互为反函数。
例题(2009广东卷理)若函数是函数的反函数,其图像经过点,则
A. B. C. D.
【解析】,代入,解得,所以,选B.
:①分析法;②配方法;③判别式法;④利用函数单调性;
⑤换元法;⑥利用均值不等式; ⑦利用数形结合或几何意义(斜率、距离、绝对值的意义等);⑧利用函数有界性(、、等);⑨导数法
(1)复合函数定义域求法:①若f(x)的定义域为[a,b],则复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a≤g(x)≤b解出②若f[g(x)]的定义域为[a,b],求 f(x)的定义域,相当于x∈[a,b]时,求g(x)的值域。
例题:已知函数的定义域为,分别求函数和的定义域。
解:由,
由,
(2)复合函数单调性的判定:①首先将原函数分解为基本函数:内函数与外函数;②分别研究内、外函数在各自定义域内的单调性;③根据“同性则增,异性则减”来判断原函数在其定义域内的单调性。
例题:设a>0且,试求函数的单调区间。
解:函数的定义域为,
令
∴u在上是增函数,在上是减函数
当0<a<1时,函数y是u的减函数,故函数在上是减函数,在上是增函数
当a>1时,函数y是u的增函数,故函数在上是增函数,在上是减函数
注意:外函数的定义域是内函数的值域。
:值域(最值)、单调性、图象等问题,先分段解决,再下结论。
(2009北京理)若函数则不等式的解集为____________.
【解析】本题主要考查分段函数和简单绝对值不等式的解法. 属