文档介绍：一类生物种群模型及其稳定性
摘要:本文讨论一类种群发展方程,建立了年龄依赖种群系统的连续模型,半离散模型和离散化模型,并由特征值简要讨论了它们的稳定性。
关键词:种群模型,半离散,稳定性,特征值
引言: 在自然界中生存的各种生物种群的发展受到各种影响,本文就年龄结构变化对单一生物种群的发展影响进行分析建模,结合[1]文,为讨论方便,我们假设在一稳定状态环境中生物的生存条件仅受年龄结构变化限制,由此得出以下几种模型。
1、线性种群发展方程
线性种群发展方程是分析、预测和定量控制的基础。在一稳定的状态环境中,
用r表示年龄,t表示时间,r, t皆为连续变化量,用表示t时刻年龄小于r的种群总数。显然且当时, ,即对于固定的t为r的单调增函数,称为种群函数。表示t时刻种群函数,m记为种群所能达到的最高年龄,则有的定义,易知=。当r, t都连续变化时,是r, t 的连续函数,假设的一阶偏导数,都是一元连续函数。设=,称为种群按年龄分布函数简称种群密度函数,由的单调性知且。
设为充分小的年龄空间,>0时,则t时刻年龄在r和+r之间的种群
总数为,另外有=,==
t时刻年龄在和(>)之间的种群总数为
设t时刻年龄在内平均单位时间内消亡总数为,为同一时刻年龄在内活着的种群数。
定义
()
称为相对消亡率函数,对于充分小的及,由t到,
年龄在中消亡总数为
即=
设为充分小的时间区间,t时刻在之间的种群总数为,过了时间到达时,在此期间消亡数为,而在此期间没消亡的种群到了时变成了年龄在中的种群,其总数为,用表示年龄在中的种群在时间内增长或消亡的种群总数,规定增生为正,消亡为负,称为t时刻r岁种群的增消率,由于r和t具有相同的量纲,所以,于是有下式成立
()
变化为
等式两边同除以得到
由于,令得到
()
这就是所求种群连续发展方程,这是一阶线性偏微分方程。
取可得初始条件,可由统计数据给出。
设边界条件为,若设为t时刻消亡与增殖数之比,称为更新率
为种群增殖成活率,则在t时刻在内消亡数为
所以有
()
由此可得
()
这即为种群发展方程的连续模型,这是一阶线性偏微分方程系统。
2、半离散种群发展方程
当t连续r离散时的种群发展方程称为半离散模型。下面用半离散逼近法求
半离散模型。给定区间的一个分划
,记,,
用表示t年代满岁但不满岁的种群总数,则
()
由于
这里,从而
()
其中,
对(1)中第一个方程两边从到积分得
=
即
由(2)有

这里,
舍掉高阶项有
()
当取年龄间隔为1,即时,为
()
即
对初始条件做离散化处理
记则有
()
对于外界条件有
对右端应用积分中值定理有
所以有即有
()
因此我们有半离散模型:
()
引进向量和矩阵记号有
X G X
A
B
则()即半离散模型可表示为
()
这是一阶线性常微分方程组。
下面考虑半离散模型()在定常情况下的稳定性。(定常情形指消亡率、
成活率、增消率都不随时间变化)。在一个相对安定的环境下,方程()可变为:
()
其中