考研数学知识点-线性代数-必看.doc

文档介绍：1 Edited by 杨凯钧 2005 年10 月
第一讲基本知识


① A + B = B + A
②(A + B)+ C = A +(B + C)
③ c(A + B)= cA + cB (c + d)A = cA + dA
④( ) ( )A c dA = cd
⑤cA = 0 ⇔ c = 0 或A = 0 。
向量组的线性组合
s α
α,α, , 1 2 Λ,
s s c α+c α+Λ+ c α 1 1 2 2 。
转置
A 的转置AT (或A′)
(A ) A T T =
(A ± B)T = AT ± BT
(cA)T = c(AT )。
3. n 阶矩阵
n 行、n 列的矩阵。
对角线,其上元素的行标、列标相等, ,Λ 11 22 a a
对角矩阵
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
0 0 *
0 * 0
* 0 0
数量矩阵3E
0 0 3
0 3 0
3 0 0
=
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
单位矩阵E或I
⎟⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
0 0 1
0 1 0
1 0 0
上(下)三角矩阵
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
0 0 *
0 * *
* * *
对称矩阵AT = A 。
反对称矩阵AT = −A。
,阶梯形矩阵
初等变换分
⎩⎨⎧
初等列变换
初等行变换
三类初等行变换
①交换两行的上下位置
A → B
②用非零常数c 乘某一行。
③把一行的倍数加到另一行上(倍加变换)
阶梯形矩阵
4 3
2 1
1 0
0 0 0 0 0
0 0 0 2 3
0 1 2 5 1
4 1 0 2 0
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
−
①如果有零行,则都在下面。
②各非零行的第一个非0 元素的列号自上而下严格
单调上升。
或各行左边连续出现的0 的个数自上而下严格单调
上升,直到全为0 。
台角:各非零行第一个非0 元素所在位置。
简单阶梯形矩阵:

。
每个矩阵都可用初等行变换化为阶梯形矩阵和简单
阶梯形矩阵。
如果A 是一个n 阶矩阵
A 是阶梯形矩阵⇒ A 是上三角矩阵,反之不一定,
如
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
0 0 1
0 1 0
0 0 1
是上三角,但非阶梯形

用同解变换化简方程再求解
三种同解变换:
①交换两个方程的上下位置。
②用一个非0 数c 乘某一个方程。
③把某一方程的倍数加到另一个方程上去,它在反映
在增广矩阵上就是三种初等行变换。
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2 Edited by 杨凯钧 2005 年10 月
矩阵消元法:
①写出增广矩阵(Aβ),用初等行变换化(Aβ)为阶梯
形矩阵(Bγ)。
②用(Bγ)判别解的情况。
i)如果(Bγ)最下面的非零行为(0,Λ,0 d),则无解,
否则有解。
ii)如果有解,记γ是(Bγ)的非零行数,则
γ= n 时唯一解。
γ< n 时无穷多解。
iii)唯一解求解的方法(初等变换法)
去掉(Bγ)的零行,得( ) 0 0 B γ,它是n ×(n + c)矩阵,
0 B 是n 阶梯形矩阵,从而是上三角矩阵。
⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=
−−
n n
n n
b
b
b
b
B
1 1
22
11
0
0 0 0 0
0 0 0 *
0 0 * *
0 * * *
* * * *
Ο
则0 ≠ n n b n n ii ⇒ b ≠⇒Λ b −− 0 1 1 都不为0 。
于是把( ) 0 0 B γ化出的简单阶梯形矩阵应为
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
n c
c
c
ΟΜ
2
1
0 0 0 1
0 0 0
0 1 0 0
1 0 0 0
其方程为
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
=
=
=
,
,
,
2 2
1 1
n n x c
x c
x c
Μ
即( ) n c ,c , ,c 1 2 Λ就是解。
第二讲行列式

n n nn
n
n
a a a
a a a
a a a
Λ
ΛΛΛΛ
Λ
Λ
1 2
21 22 2
11 12 1
A 是n 阶矩阵, A 表示相应的行列式。
(完全展开式)
ad bc
c d
a b
=