文档介绍：函数专题突破课程讲义
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: AB的概念:对于两个集合A,B,如果按照某种对应法则f,对于集合A中的任何一个元素,在集合B中都有唯一的元素和它对应,这样的对应(包括A、B及f):f:A→B.
1
A 2
3
4
5 B
6
5 B
1
A 2
3
4
6
5 B
5 B
1
A 2
3
4
5 B
6
1
A 2
3
4
6
5 B
f f f f
(1) (2) (3) (4)
在以上的四种对应关系中,(1)(3)不是映射,(2)(4)是映射.
(2)对于映射这个概念,应明确以下几点:
①映射中的两个集合A和B可以是数集,点集或由图形组成的集合以及其它元素的集合.
②映射是有方向的,A到B的映射与B到A的映射往往是不相同的.
③映射要求对集合A中的每一个元素在集合B中都有象,.
④映射允许集合B中的某些元素在集合A中没有原象,也就是由象组成的集合CB.
⑤映射允许集合A中不同的元素在集合B中有相同的象,即映射只能是“多对一”或“一对一”,不能是“一对多”.
一一映射:既是一对一又是B无余的映射.
单射:指将不同的变量映射到不同的值的函数。
满射:如果每个可能的像至少有一个变量映射其上(即像集合B中的每个元素在A中都有一个或一个以上的原像),或者说值域任何元素都有至少有一个变量与之对应。
双射(也称一一对应):既是单射又是满射的函数。直观地说,一个双射函数形成一个对应,并且每一个输入值都有正好一个输出值以及每一个输出值都有正好一个输入值。
在理解映射概念时要注意:⑴ A中元素必须都有象且唯一;
⑵ B中元素不一定都有原象,但原象不一定唯一。
【典例分析】
,下列说法正确的是
A、中每一个元素在中必有象 B、中每一个元素在中必有原象
C、中每一个元素在中的原象是唯一的 D、是中所在元素的象的集合
,则称映射f为从集合A到集合B的满射,现集合A中有3个元素,集合B中有2个元素,则从集合A到集合B的满射f的个数是:
A、5 B、6 C、8 D、9
,则在作用下点的原象为点________
、b为实数,集合表示把集合M中的元素x映射到集合N中仍为x,则=
A、1 B、0 C、-1 D、±1
,,,则到的映射有个,到的映射有个,到的函数有个
:
:
(A):传统(古典)定义:如果在某变化过程中,有两个变量x,y,并且对于x在某个范围内的每一个确定的值,按照某个对应法则,y都有唯一确定的值和它对应,,x的取值范围叫做函数的定义域,和x的值对应的y的值叫做函数值,函数值的集合叫做函数的值域.
(B): 近代(映射)定义:设A,B都是非空的数的集合,f是从A到B的一个对应法则,那么A到B的映射f:A→=f(x),其中x∈A,y∈B.
原象的集合A叫做函数f(x)的定义域,
注:(1)两种定义的比较:
①相同点:1°实质一致
2°定义域,值域意义一致
3°对应法则一致
②不同点:1°传统定义从运动变化观点出发,对函数的描述直观,具体生动.
2°近代定义从集合映射观点出发,描述更广泛,更具有一般性.
(2)对函数定义的更深层次的思考:
①映射与函数的关系:函数是一种特殊的映射f:A→B,其特殊性表现为集合A,B均为非空的数集.
函数: AB是特殊的映射。特殊在定义域A和值域B都是非空数集!据此可知函数图像与轴的垂线至多有一个公共点,但与轴垂线的公共点可能没有,也可能有任意个。
【典例分析】
例6、给出下列四个图形,其中能表示从集合M到集合N的函数关系的有( )
A、 0个 B、 1个 C、 2个 D、3个
={x|-2≤x≤2},N={y|0≤y≤2},函数f(x)的定义域为M,值域为N,则f(x)的图象可以是
例8、设,,如图中表示A到B的函数的是( )
:
(1)解析法:将两个变量的函数关系用一个等式来表示.
(2)列表法:利用表格来表示两个变量的函数关系.
(3)图像法:
例9、下列各式表示同一函数的是( )
B. 与
?
(1)f(x)=,g