文档介绍：4-2 方差
1、方差的定义与计算
2、一些重要分布的方差
3、方差的性质
上一节我们介绍了随机变量的数学期望,它体现了随机变量取值的平均水平,是随机变量的一个重要的数字特征.
但是在一些场合,仅仅知道平均值是不够的.
例如,某零件的真实长度为a,现用甲、乙两台仪器各测量10次,将测量结果X用坐标上的点表示如图:
若让你就上述结果评价一下两台仪器的优劣,你认为哪台仪器好一些呢?
乙仪器测量结果
甲仪器测量结果
较好
测量结果的均值都是 a
因为乙仪器的测量结果集中在均值附近
又如,甲、乙两门炮同时向一目标射击10发炮弹,其落点距目标的位置如图:
你认为哪门炮射击效果好一些呢?
甲炮射击结果
乙炮射击结果
乙炮
因为乙炮的弹着点较集中在中心附近.
中心
中心
由此可见,,用怎样的量去度量这个偏离程度呢?容易看到
这个数字特征就是我们这一讲要介绍的
方差
能度量随机变量与其均值E(X)的偏离程度. 但由于上式带有绝对值,运算不方便,通常用量
来度量随机变量X与其均值E(X)的偏离程度.
一、方差的定义与计算
定义设X是一个随机变量,若E[(X-E(X)]2存在, 称
E[(X-E(X)]2
为 X 的方差.
记为D(X)或Var(X),即
D(X)=Var(X)=E[X-E(X)]2
若X的取值比较分散,则方差D(X)较大.
方差刻划了随机变量的取值对于其数学期望的偏离程度.
若X的取值比较集中,则方差D(X)较小;
因此,D(X)是刻画X取值分散程度的一个量,它是衡量X取值分散程度的一个尺度。
X为离散型,
分布率
P{X=xk}=pk
由定义知,方差是随机变量 X 的函数
g(X)=[X-E(X)]2
的数学期望.
X为连续型,
X概率密度f(x)
计算方差的一个简化公式
D(X)=E(X2)-[E(X)]2
展开
证:D(X)=E[X-E(X)]2
=E{X2-2XE(X)+[E(X)]2}
=E(X2)-2[E(X)]2+[E(X)]2
=E(X2)-[E(X)]2
利用期望
性质
例:若X具有概率密度函数
求D(x)。