概率论与数理统计（钱俊）概率论4-2.ppt

文档介绍：第二节方差方差的定义方差的计算方差的性质切比雪夫不等式课堂练习课堂练习小结布置作业上一节我们介绍了随机变量的数学期望, 它体现了随机变量取值的平均水平,,仅仅知道平均值是不够的. 例如,某零件的真实长度为 a,现用甲、乙两台仪器各测量 10次,将测量结果 X用坐标上的点表示如图: 若让你就上述结果评价一下两台仪器的优劣,你认为哪台仪器好一些呢? a ??????????乙仪器测量结果 a ??????????甲仪器测量结果较好测量结果的均值都是 a因为乙仪器的测量结果集中在均值附近又如,甲、乙两门炮同时向一目标射击 10发炮弹,其落点距目标的位置如图: 你认为哪门炮射击效果好一些呢? 甲炮射击结果乙炮射击结果乙炮因为乙炮的弹着点较集中在中心附近. ????????????????????中心中心由此可见,,用怎样的量去度量这个偏离程度呢?容易看到这个数字特征就是我们这一讲要介绍的方差})({XEXE?能度量随机变量与其均值 E(X) 的偏离程度. 但由于上式带有绝对值,运算不方便,通常用量} )]( {[ 2XEXE?来度量随机变量 X与其均值 E(X) 的偏离程度. 一、方差的定义设X是一个随机变量,若 E [(X-E(X )] 2存在, 称 E [(X-E(X )] 2为 X 的方差. 记为 D(X) 或 Var(X) ,即具有相同的量纲。,它与记为的标准差或均方差称为方差的算术平方根 XX XXD)( )(? D(X )=Var(X)= E[X-E(X )] 2若X的取值比较分散,则方差 D(X) 较大. ,则方差 D(X) 较小; 因此, D(X)是刻画 X取值分散程度的一个量,它是衡量 X取值分散程度的一个尺度。 X为离散型, 分布率 P{X=x k }=p k 由定义知,方差是随机变量 X 的函数 g(X )=[X-E(X )] 2 的数学期望.???????????????,)( )]([ , )]([)( 2 1 2dx xfXEx pXExXD k kk 二、方差的计算 X为连续型, X概率密度 f(x ) 计算方差的一个简化公式 D(X )=E(X 2 )-[E(X )] 2展开证: D(X )=E[X-E(X )] 2=E{X 2 -2 XE (X )+[ E(X )] 2}=E(X 2 )-2[ E(X )] 2 +[E(X )] 2=E(X 2 )-[E(X )] 2利用期望性质例1设随机变量 X具有(0—1)分布,其分布率为 pXPpXP?????}1{,1}0{ 求 D(X) . 解pppXE??????1)1(0)(pppXE?????? 2221)1(0)( 由公式)1( )]([)()( 222ppppXEXEXD??????因此,0-1 分布)1()(,)(ppXDpXE???