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平稳性和非平稳时间序列分析
一、非平稳时间序列和伪回归
许多常用的经济时间序列,如GDP、物价指数、股票价格等往往不符合平稳性定义,都有非平稳的特性。
非平稳序列没有不变的中心趋势,不能用时间序列的样本均值和方差推断各时点随机变量的分布特征,经典回归分析的基础和有效性就都遇到了问题。
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(一)以两个随机游走序列之间的回归为例说明这种影响
设{ }和{ }是两个相互之间不相关的随机游走序列,即它们分别满足和。为了简单起见,进一步假设和。这样两个随机游走序列分别为和。
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用下面无常数项的两变量线性回归模型进行分析:
其中的误差项满足
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(二) “伪回归”(Spurious regression)
非平稳时间序列更严重的影响是,虽然它们会破坏经典回归分析的基础和有效性,但根据分析结果并不一定能发现问题。有时即使时间序列严重非平稳,分析结果应该是无效的,但t、F、等指标却很正常,模型的显著性和拟合程度看起来都很好。这种问题通常称为“伪回归”问题。
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二、时间序列平稳性的单位根检验
(一) Granger和Newbold提出了判断伪回归的一个经验法则:若回归分析结果中>DW,就可能存在伪回归问题。
(二)“单位根检验”(Unit root test)
基本思路:包含单位根过程是大多数经济时间序列非平稳性的原因,因此可以通过检验是否存在单位根,检验时间序列过程的平稳性。
最常用的方法:
1、迪基-富勒检验(Dickey-Fuller Test, DF)
2、扩展迪基-富勒检验(ADF)
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1、基本的DF检验方法
(1)检验时间序列{ }是否属于最基本的单位根过程,也就是随机游走过程
,其中为白噪声过程。
(2)检验思路
首先服从如下的自回归模型
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如果其中,或者变换成如下的回归模型
中的,那么时间序列{ }就是最基本的单位根过程,肯定是非平稳的。
对上述差分模型中的显著性检验,就是检验时间序列是否存在上述单位根问题。
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问题是如果时间序列确实是非平稳的单位根过程,那么最小二乘法估计回归得到的t统计量不服从t分布,因此不能用t分布表的临界值判断的显著性。
迪基和富勒通过蒙特卡罗模拟方法构造了专门的统计分布表,给出了包括10%、5%、1%几个显著性水平的临界值,称为DF临界值表。
为了区别起见,把上述模型回归分析计算的t统计量改称为“τ统计量”。
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2、扩展迪基-富勒检验(ADF)
随机游走过程只是最简单的一种单位根过程,许多非平稳时间序列包含更复杂的单位根过程,包含常数项、趋势项和高阶差分项等。
为了使迪基-富勒检验适用单位根过程的检验,必须作适当的扩展。
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