文档介绍：第五章弹塑性力学问题的建立与求解
弹塑性力学问题在数学上属边值问题,就是在给定边界条件下,确定物体内的应力场和应变场,而应变场与位移场密切相关。所求得应力场、应变场和位移场应该满足相应的基本方程和边界条件。
本章内容,除介绍弹性及弹塑性力学边值问题的建立之外,还将简单阐述弹塑性问题的解法。
弹塑性力学边值问题就是在给定载荷下确定物体内的应力场、应变场和位移场,它们应满足基本方程及给定的边界条件。而所谓“载荷”包括:体积力、面积力(即应力边界条件)及给定的边界位移(即位移边界条件)。由于在部分边界上给定的位移也是对物体的一种外部干扰,可归于广义的载荷。在笛卡儿坐标系下,弹塑性力学的基本方程为:
1).平衡方程
(-1a)
或用张量写为
(-1b)
对于弹塑性力学问题,在小变形条件下,其平衡方程还可用率型式表示为
(-1c)
2).几何方程
对于小变形,几何方程包括Cauchy应变张量
(-2a)
或
(-2b)
和由应变位移关系导出的应变协调方程
(-3a)
当物体内某应力点进入塑性状态,其几何方程通常采用应变率表示为
(-3b)
3).本构方程
物体受力后,其应力状态可能一部分处于弹性阶段,一部分可能处于塑性阶段。由笫四章知,这两个阶段的本构方程是不同的,下面分别列出不同区域(阶段)的本构方程。
(1)弹性区域
弹性区域,应力应满足屈服不等式,在该关系下本构关系为广义虎克定律,即
(-4a)
或简写为
(-4b)
也用应变表示应力,则有
(-4b)
上式可缩写为
(-4c)
(2)塑性区域
对于变形物体内的塑性区域,如果处于初始屈服阶段,应力应满足屈服不等式,在该条件下,并注意当进入塑性状态时,体积为不可压缩,因此增量理论的(-12a)式可写为
(-5a)
或简写为
(-5b)
其中
当为强化材料时,则可表示为
(-5c)
式中
如果采用全量论,则应变偏量为
(-5d)
从上面可见,当物体处于弹性状态时,共有3个平衡方程(-1),6个几何方程(-2),6个本构方程(-4)。共15个方程(统称为泛定方程)。其中包括6个应力分量,6个应变分量,2个位移分量,共15个未知函数,因而在给定边界条件时,问题是可以求解的。
当物体处于弹塑性状态时,同样有3个平衡方程(-1),6个几何方程(-2)以及6个本构方程(-5)。但在此情况下多引进了一个参数,,才不等于零。
在研究弹塑性小变形平衡问题范围内时,以上弹塑性力学问题的解还必须满足的边界条件。边界条件一般可分为三类,即
(1)应力边界条件
(-6a)
或写为
(-6b)
(2)位移边界条件
(-7a)
或写为
(-7b)
(3)混合边界条件
当物体中的一部分边界力已给定,而另一部分边界给定了位移,则称这类边界条件为混合边界条件。这类边界条件的表达式分别同式(-6)和(-7)。
应当注意的是,加载过程的弹塑性力学问题可作为非线性弹性力学问题处理。这时应注意的是卸载,卸载时应遵守卸载定律。如果变形物体内可能同时存在几种不同的变形区,如初始弹性区、加载区()及卸载区(),在相邻区域的交界上,应力和应变还应满足一定的连续或间断条件。
一般来说,在一定的边界条件下,弹塑性力学问题原则上是可以求解。通常在数学上称弹塑性静力学问题为边值问题。
求解弹力学问题的目的是确定物体内各点的应力场和位移场,因此弹性力学问题的提法必须是使定解问题是适定的,即问题有解、解是唯一的和解是稳定的。
弹性力学问题的基本方程虽然构成一个封闭方程组,但该方程组只有在与定解条件,即边界条件相符的解才是所需的正确解。因此,边界条件的重要性不容忽视。应强调的是,边界条件的个数应给得不多也不少时,才能得出正确解。如空间问题的应力边界条件,必须在边界上的每一点给出三个应力边界条件,一旦多给了,则会找不到满足全部边界条件的解,如果少给了,就会有多个解满足所给的边界条件,因此不能判断那一个解是正确的。
由此可见,弹性力学的基本方程组一般地反映物体内部的应力、应变和位移之间相互关系的普遍规律,而定解条件具体给定了每一个边值问题的特定规律。因此,每一个具体问题反映在各自的边界条件上。所以,弹