文档介绍：第六章弹性问题的求解
平面问题(plane problem)的弹性解
所谓平面问题,就是把受力物体看作是处在与一个坐标面(如xoy平面)平行的平面内,然后在该平面内进行求解的力学问题。
(三维问题,复杂,一大堆方程平面问题,简单)
 平面应变问题(长轴类问题)(plane strain problem)
特点:①几何上: ,且沿z轴各截面相同。
例如:水坝、油管、燧洞等;
②外力垂直于z轴且沿z轴不变;
③远离两端的部分位移与z轴无
关,只与x,y有关。
第六章弹性问题的求解
平面问题(plane problem)的弹性解
位移条件:
由几何方程得应变分量
第六章弹性问题的求解
平面问题(plane problem)的弹性解
由物理方程可得应力分量
其中(拉梅常数),
(体积应变),
、E、G为材料弹性常数。
第六章弹性问题的求解
平面问题(plane problem)的弹性解
注意: 是否意味
实际上:
若只考虑平面分量,则广义虎克定律可以简化为:
其中:
这就是平面应变问题的广义虎克定律。
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平面问题(plane problem)的弹性解
不难证明:
应力平衡微分方程:
应变连续方程:
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平面问题(plane problem)的弹性解
  平面应力问题(plane stress problem) (薄板类问题)
特点:①几何上: 。例:薄膜问题、薄板拉伸、胀形等
② z 向无外力或很微小,载何沿z 向分布均匀.
第六章弹性问题的求解
平面问题(plane problem)的弹性解
由应力假设可得应力分量
由物理方程可得应变分量
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平面问题(plane problem)的弹性解
讨论:①平面应力问题与平面应变问题的比较:
平面应力问题:由应力假设有,但
平面应变问题:由位移假设有, 而
②应力平衡微分方程
应变连续方程与材料性能无关
边界条件方程
因此,对于复杂的平面应力应变状态,可以用其它材料进行模拟(simulation),只要几何条件、受力条件相似,应力、应变规律是相同的。例如:光弹性试验、光塑性试验(密栅方纹法)等。
③可以用平面应力下的薄板模型代替平面应变状态的长轴类构件进行弹性问题的求解。将平面应力问题的物理方程中的弹性参数进行相应变换:
即可得到平面应变弹性问题的物理方程。
第六章弹性问题的求解
平面问题(plane problem)的弹性解
极坐标系下的基本方程
第六章弹性问题的求解
平面问题(plane problem)的弹性解
极坐标系下的基本方程
(由坐标变换获得)
在直角坐标系中