文档介绍：费马点发现者
费马(Fermat,Pierre de Fermat) (1601~1665)法国数学家物理学家,被誉为“业余数学家之王。”费马(也译为“费尔马”)1601年8月17日出生于法国南部图卢兹附近的博蒙·德·洛马涅。他的父亲多米尼克·费马在当地开了一家大皮革商店,拥有相当丰厚的产业,使得费马从小生活在富裕舒适的环境中。
费马点定义
在一个三角形中,到3个顶点距离之和最小的点叫做这个三角形的费马点。
(1)若三角形ABC的3个内角均小于120°,那么3条距离连线正好平分费马点所在的周角。所以三角形的费马点也称为三角形的等角中心。
(2)若三角形有一内角不小于120度,则此钝角的顶点就是距离和最小的点。
费马点的判定
(1)对于任意三角形△ABC,若三角形内或三角形上某一点E,若EA+EB+EC有最小值,则E为费马点。
费马点的计算
(2)如果三角形有一个内角大于或等于120°,这个内角的顶点就是费马点;如果3个内角均小于120°,则在三角形内部对3边张角均为120°的点,是三角形的费马点。
证明
我们要如何证明费马点呢:
  
费马点证明图形
(1)费马点对边的张角为120°。
△CC1B和△AA1B中,BC=BA1,BA=BC1,∠CBC1=∠B+60°=∠ABA1,
△CC1B和△AA1B是全等三角形,得到∠PCB=∠PA1B
同理可得∠CBP=∠CA1P
由∠PA1B+∠CA1P=60°,得∠PCB+∠CBP=60°,所以∠CPB=120度
同理,∠APB=120°,∠APC=120° (2)PA+PB+PC=AA1
将△BPC以点B为旋转中心旋转60°与△BDA1重合,连结PD,则△PDB为等边三角形,所以∠BPD=60° 又∠BPA=120°,因此A、P、D三点在同一直线上,
又∠CPB=∠A1DB=120°,∠PDB=60°,∠PDA1=180°,所以A、P、D、A1四点在同一直线上,故PA+PB+PC=AA1。
(3)PA+PB+PC最短
在△ABC内任意取一点M(不与点P重合),连结AM、BM、CM,将△BMC以点B为旋转中心旋转60°与△BGA1重合,连结AM、GM、A1G(同上),则AA1<A1G+GM+MA=AM+BM+、B、C的距离最短。
平面四边形费马点
平面四边形中费马点证明相对于三角型中较为简易,也较容易研究。
(1)在凸四边形ABCD中,费马点为两对角线AC、BD交点P。
  
费马点
(2)在凹四边形ABCD中,费马点为凹顶点D(P)。
经过上述的推导,我们即得出了三角形中费马点的找法:
当三角形有一个内角大于或等于120°的时候,费马点就是这个内角的顶点;如果三个内角都在120°以内,那么,费马点就是使得费马点与三角形三顶点的连线两两夹角为120°