文档介绍：一、考试要求
1、理解(了解)二重积分的概念,了解二重积分的基本性质。
2、掌握二重积分(直角坐标、极坐标)的计算方法。
3、会计算无界区域上的较简单的二重积分(数三、四)
二、内容提要
1、定义
2、性质
1) 线性运算性质
2) 积分可加性:
3)如果在D上, f(x, y)£g(x, y), 则
4)设M、m分别是f(x, y)在闭区域D上的最大值和最小值, s为D的
面积, 则有
5)设函数f(x, y)在闭区域D上连续, s 为D的面积, 则在D上至少存在一点(x, h)使得
3、几何意义
二、重要公式与结论
二重积分的对称性质
1) D关于x轴对称
D1为D的上半平面。
2) D关于y轴对称
D2为D的右半平面。
3) 轮换对称性: 若x, y互换后区域D不变,则
三、典型题型与例题
题型一、基本概念及性质
例1、设闭区域 f(x,y)为D上的连续函数,且
求f(x,y).
例2、(0534)
设,,,
其中,则
(A) (B).
(C) . (D) .
例3、(10123)
(A) . (B).
(C) . (D). 【】
【答案】应选(D).
【分析】用二重积分(或定积分)的定义.
【详解】因为
,
所以应选(D).
题型二、二重积分的基本计算
(1) 利用直角坐标计算 ds =dxdy
D: 或
计算二重积分的步骤
(1)画出积分区域D的草图.
(2)用不等式组表示积分区域D.
(3)把二重积分表示为二次积分
(4)计算二次积分.
注:计算过程中先化简
例4、(0634)计算二重积分,其中是由直线所围成的平面区域.
例5、
利用极坐标计算 ds =rdrdq
计算方法同直角坐标,一般先、后,适应于圆形区域或被积函数含有的因子;
极点在区域内:
极点在区域外:
(iii)极点在区域的边界上:
例6、(0612)设区域, 计算二重积分
例7、计算,其 D为由圆,及直线, 所围成的平面闭区域.
计算重积分应注意的技巧:利用重积分的对称性简化计算
例8、计算,
例9、计算=
例10、计算, 其中D:
例11、求,其中D是由圆和所围成的平面区域
.
.
例12、计算I=, D:
例13、(利用对称性证明不等式) 设f(x)在[a,b]上连续,且f(x)>0. 证明:
题型三、几类特殊重积分的计算
分片函数的重积分
例14、设求
例15、设,表示不超过的最大整数. 计算二重积分
2、含有绝对值的情形
例16、(05234)计算二重积分,其中.
例17、计算,其中
3、交换积分次序的情形
例18、计算
题型四、广义二重积分的计算
例19、计算广义二重积分, D是第一象限内在曲线y=4x2和y=9x2之间的区域。
[=, 答案:]
例20、计算
[=
答案: ]
题型五、利用二重积分计算体积与曲面表面积
例21、求由曲面所围成的体积V和表面积S
[解] , (舍去),所以投影区域为D:
因为S=
所以
=
.
题型六、综合题
例22、