文档介绍：填空题(20);选择题(10);计算题(60);证明题(10)
几个专题
(一)行列式:
(P7,P9);
;
(P11-P13);
(列)展开及其推论(P19-20)
(二)方阵可逆的定义及其等价条件:
1.(P47);
2.(或)(P49);
3.(即非奇异)(P49);
(即满秩)(P74);
(P80);
(P80);
7.(为初等矩阵,)(P66);
8.~(即与等价)(P63);
(行)向量组线性无关(P97);
(P129);
11.()正定(P161)
(:由知对称。若可逆,则对任何,
成立,故,即正定。
:若正定,则对任何,成立
,即,从而可逆。)
(三)的逆矩阵计算:
;或由解出的第列;
2.(P49);
3.(P66)
(四)有关秩的结论:
1.(P71);
2.(P71);
,则(P71);
,可逆,则(P71);
5.(P74);
(若用分别表示的列阶梯形,,后者的非零列数为,故其秩不会超过)
6.(P74);
(, 所以)
7.(P74,P98);
8. 若非奇异,则(P73);
8.(通过与同解);
,则(P74,P111);
(行)向量组的秩(P97)
(P70),向量组的秩(P96),二次型的秩(P150)
线性变换的秩(P183)的定义
注:矩阵的秩及其最高阶非零子式的计算,向量组的秩,极大无关组的计算以及向量组的其它向量用极大无关组表示的问题
(五)向量组线性相关性的结论:
矩阵的秩(P91);
,个维向量必线性相关(P92);
,特别含零向量的向量组线性相关(P93,P90);
4.()线性相关至少其中有一个向量可用其余个向量线性表示(P91);
(P91);
(P90)
注:线性相关性的判定和证明
(六)与线性方程组解有关的结论:
(P80);
特别,若的行数小于,则必有非零解;
(解空间);若,则解空间的维数,设是基础解系,那么的通解为(P109);
(P80);
特别,若的行向量组线性无关,则必有解(由的行数的行数,得到。此结论可推广为:线性无关向量组经过分量扩充后形成的新向量组仍然线性无关);
4. 元非齐次线性方程组有解可以由的列向量组线性表示与等价;
,唯一解对应,无限多解对应。在无限多解的情况下的通解为,其中是的基础解系,是的特解(P80,P113);
,则元非齐次线性方程组有个线性无关解(P115/12(2));
(设是的某个解,是对应的的基础解系,那么是的个解。
考虑
即(1)
可以推断(2)
(事实上若(2)不成立,由(1)可得到
这说明是的解,与假设矛盾。)
这样(1)就变为,由假设线性无关推得,再由(2)得,所以线性无关)
注:在上题的条件下,的线性无关解的个数也不会超过。
事实上,设是的任何个解,那么是的个解,因而线性相关,即存在不全为零的常数使
,
也即。
而上式中的组合系数不全为零,故线性相关。
,并令,那么是的解
(),又若令,那么是的解
注:线性方程组解的讨论和具体计算
(七)方阵正交的定义及其等价条件:
1.(或)(P124);
2.(P124);
(利用与互推);
(行)向量都为单位向量且两两正交(P124);
;
(:可逆由定义得到,正交由2,3得到
:正交)
,成立
(:。
:记,
则,,故,从而。)
(八)对称矩阵为正(负)定的定义及其等价条件:
,成立(P160);
(负)(P161)
(或用正(负)惯性指数);
(负)(P161);
(奇数阶为负,偶数阶为正)(P162);
(负)定(利用与特征值同号);
(正)定(按定义推得)
注:半正(负)定问题
(九)特征值和特征向量的性质及其计算()例如:
特