文档介绍：函数的零点
沈阳二中数学组
思考:一元二次方程
ax2+bx+c=0(a≠0)的根与二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象有什么关系?
方程ax2 +bx+c=0
(a≠0)的根
函数y= ax2 +bx
+c(a≠0)的图象
判别式△=
b2-4ac
△>0
△=0
△<0
函数的图象
与 x 轴的交点
有两个相等的
实数根x1 = x2
没有实根
x
y
x1
x2
0
x
y
0
x1
x
y
0
(x1,0) , (x2,0)
(x1,0)
没有交点
两个不相等
的实数根x1 、x2
一般地,如果函数y=f(x)在实数处的值等于0,
即f( )=0,则叫做函数y=f(x)的零点。在坐标系中表示图像与x轴的公共点是( ,0)点.
方程f(x)=0有实数根
函数y=f(x)的图象与x轴有交点
函数y=f(x)有零点
函数零点的定义:
等价关系
方程的根与函数的零点之间的关系

当函数的图象通过零点且穿过X轴时,函数值变号.
两个零点把X轴分为三个区间:

在每个区间上函数值保持同号.
二求出二次函数的零点及其顶点坐标,又能粗略地画出函数草图,确定二次函数的一些主要性质.
x
y
x1
x2
0
观察二次函数f(x)=x2-2x-3的图象:
在区间[2,4]上,f(2)___0 ,f(4)___0,f(2)·f(4)___0
在区间(2,4)上,x=3 是 x2-2x-3=0的另一个根
.
.
.
.
.
x
y
0
-1
3
2
1
1
2
-1
-2
-3
-4
-2
4
零点存在性的探索
>
<
<
<
<
>
在区间[-2,1]上,f(-2) __0, f(1)___0,
则 f(-2)· f(1) ___0 ,
在区间(-2,1)上,x=-1是 x2 -2x-3=0的一个根
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续
不断的一条曲线,并且有f(a)·f(b)<0,那么,函
数y=f(x)在区间(a,b) 内有零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的根。
注:只要满足上述两个条件,就能判断函数在指定区间内存在零点。
结论:
x
y
0
1
.
.
.
a
b
.
.
x
y
0
.
a
b
1、对于定义在R上的函数y=f(x),若f(a).f(b)<0 (a,b R,且a<b),则函数y=f(x)在(a,b)内( )
A 只有一个零点 B 至少有一个零点
C 无零点 D 无法确定有无零点
练一练
2、如果二次函数y=x2+2x+(m+3)有两个不同的零点,则m的取值范围是( )
A x> – 2 B x< – 2 C x>2 D x<2
3、函数f(x)=x3-16x的零点为( )
A (0,0),(4,0) B 0,4 C (– 4 ,0), (0,0),(4,0) D – 4 ,0,4
4、函数f(x)= – x3 – 3x+5的零点所在的大致区间为( )
A (1,2) B ( – 2 ,0) C (0,1) D (0, )
B
B
D
A
5、已知函数f(x)的图象是连续不断的,有如下的x, f(x)对应值表:
x
1
2
3
4
5
6
7
f(x)
23
9
–7
11
–5
–12
–26
那么函数在区间[1,6]上的零点至少有( )个
A 5 B 4 C 3 D 2
C