文档介绍：数学模型 Mathematical Model
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量纲分析法建模
数学应用中,经常处理的不是“纯粹的数”,而反映某一事物特征的度量。
量纲分析(Dimensional Analysis)是20世纪初提出的在物理领域中建立数学模型的一种方法。
1、量纲齐次原则
(1)单位制
现在有几种不同单位体系:
首先统一单位制(参考各类数学用表,词典等)
国际单位制(SI制) 由7个基本单位组成
量纲分析法建模
物理量
单位
符号
长度
米
m
质量
千克
kg
时间
秒
s
电流强度
安培
A
温度
开尔文
k
光强
堪德拉
cd
物质的量
摩尔
mol
量纲分析法建模
其他物理量都是用上述7个单位的复合,不过由于经常使用,故都有自己的特殊名称:
物理量
单位
符号
力
牛顿
N(kgms-2)
能量
焦耳
J(kgm2s-2)
功率
瓦特
W(Js-1或kgm2s-3)
频率
赫兹
Hz(s-1)
压强
帕斯卡
Pa(Nm-2或kgm-1s-2)
量纲分析法建模
(2)量纲:在力学中,任一物理量都可以表示为最基本的物理量(质量M、长度L和时间T)的组合形式,这种组合形式称为这一物理量的量纲。
例如:
面积的量纲是 L2
密度的量纲是 ML-3
注:a:量纲是独立于单位的,通常用方括号表示取量纲的运算,如[面积]= L2 [速度]=LT-1等
b:有些物理量是无量纲的,称为纯数字,如角度
[角度]=M0L0T0
量纲分析法建模
(3)量纲齐次原则:
用数学公式表示一个物理定律时,等号两端必须保持量纲一致,即[左边]=[右边],并且只有量纲相同的项才能相比较、加减。
2、实例:
质量为m的小球系在长度为l的线的一端,稍偏离平衡位置后小球在重力mg的作用下(g为重力加速度)作往复摆动。忽略阻力,求摆动周期t的表达式
量纲分析法建模
问题分析:
本问题中所涉及到的物理量有:t、m、l、g
不妨假设有关系式:
t=λmα1lα2gα3
α1、α2、α3为待定系数, λ是无量纲的比例系数
所以由量纲齐次原则
[t]=[m] α1[l] α2[g] α3
而[t]=T [m]=M [l]=L [g]=LT-2
所以有量纲方程:
T=M α1 L α2 +α3 T-2 α3
量纲分析法建模
根据上述量纲方程,可得方程组
代入关系式,则有:
解方程组
量纲分析法建模
上述例子抽象成一般情形:
问题涉及到变量:t、m、l、g
假设关系式: f(t,m,l,g)=0
ty1my2ly3gy4=π(π为无量纲常数) ①
变量的量纲用基本量纲表示:
②
量纲分析法建模
将②代入①式得:
(L0M0T1)y1 (L0M1T0)y2 (L1M0T2)y3 (L1M0T-2)y4= L0M0T0
即 Ly3+y4My2Ty1-2y4= L0M0T0
所以由量纲齐次原则:
方程组有一个基本解 y=(y1,y2,y3,y4)T=(2,0,-1,1)T
代入原式得 t2l-1g= π
原式等价于 t2l-1g=π F(π)=0