文档介绍：第四章线性方程组与向量组的线性相关性<br****题课
消元法与线性方程组的相容性
向量组的线性相关性
向量组的秩矩阵的行秩与列秩
线性方程组的解的结构
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那么称部分组为向量组的一个极大线性无关组.
设有向量组A: , 如果A中的部分向
量组,满足
线性无关;
(1)
(2)向量组中任一向量可用线性表示.
向量组的极大无关组所含向量个数称为该向量组的秩.
设有向量组,如果存在不全为零的数,使
则称向量组是线性相关的,否则称它线性无关.
一. 重要概念
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2)两个向量线性相关它们对应的分量成比例
两个向量线性无关对应的分量不成比例
3)若向量组线性无关,则它的任何部分非空组线性无关.
4)若部分组线性相关, 则整个向量组线性相关
二. 线性无关与线性相关的重要结论
5)一个含有零向量的向量组必线性相关
6)任意n+1个n维向量一定线性相关
一个向量线性无关
1)一个向量线性相关
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7)低维向量组线性无关,则高维向量组线性无关.
高维向量组线性相关,则低维向量组线性相关.
8)向量组线性相(无)关是齐次线性方程组有(无)非零解.
9) 线性无关
线性相关
n个n维向量线性相关它们排成的n阶行列式的值等于零.
n个n维向量线性无关它们排成的n阶行列式的值不为零.
11)向量组线性相关至少有一个向量可由其余向量线性表示
向量组线性无关任何一个向量都不能由其余向量线性表示
10)
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(5)矩阵A的秩=A的列秩=A的行秩.
(2)若向量组A能由向量组B线性表示,
则向量组A秩向量组B的秩.
(3)等价的向量组的秩相同.
(1)向量组与它的极大无关组等价;
若向量组A: 可由向量组B: 线性表示,且,则必线性相关.
12)
若向量组A: 可由向量组B: 线性表示,且线性无关,则
(4)等价的线性无关向量组所含向量的个数相同.
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四. 证明向量组线性相关性的常用方法:
(1)定义法
(2)秩法
(3)行列式法(向量组能构成一个方阵A时,才能用此法)
设
若有非零解,则向量组线性相关
若只有零解,则向量组线性无关
以向量组构成矩阵A
若R(A)<向量的个数,则向量组线性相关
若R(A)=向量的个数,则向量组线性无关
若,则向量组线性相关
若,则向量组线性无关
(4)反证法
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(1)向量组
作列向量构成矩阵A
(2)向量组的秩=行阶梯形矩阵B的非零行的行数r.
五. 求向量组的秩及极大无关组的方法
(行阶梯形矩阵)
初等行变换
(3)找出B的一个非零的r阶子式,A中与B的非零r阶子式对应的列向量就是A的一个极大无关组.
(3)找出B的一个非零的r阶子式
(4)若要把其余向量用这个极大无关组表示,则
初等行变换
行最简形矩阵
在行最简形矩阵中其余列的元素分别就是这些列向量用极大无关组表示的系数.
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1.() 设向量组α1=(1,1,2),
α2=(3,t,1),α3=(0,2,-t)线性相关,求t的值.
解本题有多种解法:(1)可以用由向量组组成的行列式等于零,(2)也可以用由向量组组成的矩阵的秩小于3.
因向量组线性相关,所以R(A)<3,故t=5或t=-2.
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,若
线性相关,求a的值.
解设
因线性无关,故有
又因线性相关,
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得
所以不全为0,
列式,而
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