文档介绍：圆锥曲线与方程
重点:圆锥曲线的定义的应用及直线与圆锥曲线的位置关系
难点:直线与圆锥曲线的位置关系
主要内容:
圆锥曲线的统一定义:椭圆、双曲线、抛物线统称圆锥曲线。
平面内,到一定点的距离与它到一条定直线(不经过定点)的距离之比是常数e的点的轨迹叫做圆锥曲线。定点叫做焦点,定直线叫做准线、常数叫做离心率。
①e∈(0,1)时轨迹是椭圆;
②e=1时轨迹是抛物线;
③e∈(1,+∞)时轨迹是双曲线。
圆锥曲线的标准方程和几何性质
一、椭圆:(1)定义:平面内到两个定点F1、F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫椭圆,这两个定点叫焦点.
(2)标准方程
当焦点在轴上时,椭圆的标准方程:,其中;
当焦点在轴上时,椭圆的标准方程:,其中;
椭圆的的简单几何性质:
范围:,,
焦点,顶点、,长轴长=,短轴长=,焦距=,
二、双曲线
(1)定义:平面内与两个定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线,这两个定点叫双曲线的焦点.
(2)标准方程
当焦点在轴上时,双曲线的标准方程:,其中;
当焦点在轴上时,双曲线的标准方程:,其中.
双曲线的简单几何性质
范围:,;
焦点,顶点,实轴长=,虚轴长=,焦距=;
离心率是
,准线方程是;
渐近线:.
三、抛物线
(1)定义:平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线,定点F叫做抛物线的焦点,定直线l叫做抛物线的准线.
(2)标准方程
四种形式:,,,。
(3)抛物线标准方程的几何性质
范围:,,
对称性:关于x轴对称
顶点:坐标原点
离心率:.
四、直线和圆锥曲线的位置关系
+By+C=0和椭圆的位置关系:
将直线方程代入椭圆后化简为一元二次方程,其判别式为Δ。
(1)若Δ>0,则直线和椭圆相交,有两个交点(或两个公共点);
(2)若Δ=0,则直线和椭圆相切,有一个切点(或一个公共点);
(3)若Δ<0,则直线和椭圆相离,无公共点.
+By+C=0和双曲线的位置关系:
将直线方程代入双曲线方程后化简方程
①若为一元一次方程,则直线和双曲线的渐近线平行,直线和双曲线只有一个交点,但不相切不是切点;
②若为一元二次方程,则:
若Δ>0,则直线和双曲线相交,有两个交点(或两个公共点);
(2)若Δ=0,则直线和双曲线相切,有一个切点;
(3)若Δ<0,则直线和双曲线相离,无公共点.
注意:如说直线和双曲线有一个公共点,则要考虑两种情况:一个切点和一个交点
+By+C=0和抛物线y2=2px(p>0)的位置关系:
将直线方程代入抛物线方程后化简后方程:
①若为一元一次方程,则直线和抛物线的对称轴平行,直线和抛物线有一个交点,但不相切不是切点;
②若为一元二次方程,则
(1)若
Δ>0,则直线和抛物线相交,有两个交点(或两个公共点);
(2)若Δ=0,则直线和抛物线相切,有一个切点;
(3)若Δ<0,则直线和抛物线相离,无公共点。
注意:如说直线和抛物线有一个公共点,则要考虑两种情况:一个切点和一个交点
:
当直线的斜率k存在时,直线y=kx+b与圆锥曲线相