文档介绍：第三章傅里叶变换§ 引言
频域分析
从本章开始由时域转入变换域分析,首先讨论傅里叶变换。傅里叶变换是在傅里叶级数正交函数展开的基础上发展而产生的,这方面的问题也称为傅里叶分析(频域分析)。将信号进行正交分解,即分解为三角函数或复指数函数的组合。
频域分析将时间变量变换成频率变量,揭示了信号内在的频率特性以及信号时间特性与其频率特性之间的密切关系,从而导出了信号的频谱、带宽以及滤波、调制和频分复用等重要概念。
发展历史
1822年,法国数学家傅里叶(,1768-1830)在研究热传导理论时发表了“热的分析理论”,提出并证明了将周期函数展开为正弦级数的原理,奠定了傅里叶级数的理论基础。
泊松(Poisson)、高斯(Guass)等人把这一成果应用到电学中去,得到广泛应用。
19世纪末,人们制造出用于工程实际的电容器。
进入20世纪以后,谐振电路、滤波器、正弦振荡器等一系列具体问题的解决为正弦函数与傅里叶分析的进一步应用开辟了广阔的前景。
在通信与控制系统的理论研究和工程实际应用中,傅里叶变换法具有很多的优点。
“FFT”快速傅里叶变换为傅里叶分析法赋予了新的生命力。
主要内容
本章从傅里叶级数正交函数展开问题开始讨论,引出傅里叶变换,建立信号频谱的概念。
通过典型信号频谱以及傅里叶变换性质的研究,初步掌握傅里叶分析方法的应用。
对于周期信号而言,在进行频谱分析时,可以利用傅里叶级数,也可以利用傅里叶变换,傅里叶级数相当于傅里叶变换的一种特殊表达形式。
本章最后研究抽样信号的傅里叶变换,引入抽样定理。
§ 周期信号傅里叶级数分析
主要内容
三角函数形式的傅氏级数
指数函数形式的傅氏级数
两种傅氏级数的关系
频谱图
函数的对称性与傅里叶级数的关系
周期信号的功率
傅里叶有限级数与最小方均误差

是一个完备的正交函数集
t在一个周期内,n=0,1,...
由积分可知

在满足狄氏条件时,可展成
直流分量
余弦分量的幅度
正弦分量的幅度
称为三角形式的傅里叶级数,其系数

狄利克雷(Dirichlet)条件
条件3:在一周期内,信号绝对可积。
条件2:在一周期内,极大值和极小值的数目应是有限个。
条件1:在一周期内,如果有间断点存在,则间断点的数目应是有限个。
其他形式
余弦形式
正弦形式