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对功率谱估计常用方法的探讨及应用分析
进行傅里叶变换在频域中研究信号,是研究确定性信号最简单且有效的手段,但在现代信号分析中,对于常见的随机信号,不可能用清楚的数学关系式来描述,其傅里叶变换更不存在,转而可以利用给定的N个样本数据估计一个平稳随机信号的功率谱密度。功率谱估计是数字信号处理的重要研究内容之一。功率谱估计可以分为经典功率谱估计和现代功率谱估计。本文介绍了各种经典功率谱估计方法,不仅从理论上对各种方法的谱估计质量进行了分析比较, 而且通过Matlab进行了仿真。在对经典谱估计进行讨论之后,还分析了现代谱估计即参数谱估计方法,通过观测数据估计参数模型再按照求参数模型输出功率的方法估计信号功率谱。现代谱估计的内容极其丰富,设计的学科及应用的领域都相当广泛,至今每年都有大量的科研成果出来。在本文的最后利用现代谱估计的方法讨论了功率谱方法在噪声源信号识别中的应用。文章还给出了常见谱估计方法的比较,便于深刻理解各种方法的特点,从而在实际工作中做出合理的选择。

功率谱估计是随机信号处理的重要内容,其技术渊源很长,而且在过去的40余年中获得了飞速的发展。涉及到信号与系统、随机信号分析、概率统计、矩阵代数等一系列的基础学科,广泛应用于人民的日常生活及军事、工业、农业活动中,是一个具有强大生命力的研究领域。本文将简要回顾一下功率谱估计的发展历程,对常用的一些方法进行总结。功率谱的估计方法有很多,主要有经典谱估计和现代谱估计。经典谱估计又可以分成两种:一种是BT法,也叫间接法;另一种是直接法又称周期图法。现代谱估计的方法又大致可分为参数模型谱估计和非参数模型谱估计,前者有AR模型、MA模型、ARMA模型、PRONY模型等,后者有最小方差方法、多分量的MUSIC方法等。
功率谱研究的发展过程
功率谱估计是数字信号处理的主要内容之一,主要研究信号在频域中的各种特征,目的是根据有限数据在频域内提取被淹没在噪声中的有用信号。下面对谱估计的发展过程做简要回顾:
英国科学家牛顿最早给出了“谱”的概念。后来,1822年,法国工程师傅立叶提出了著名的傅立叶谐波分析理论。该理论至今依然是进行信号分析和信号处理的理论基础。
傅立叶级数提出后,首先在人们观测自然界中的周期现象时得到应用。19世纪末,Schuster提出用傅立叶级数的幅度平方作为函数中功率的度量,并将其命名为“周期图”(periodogram)。这是经典谱估计的最早提法,这种提法至今仍然被沿用,只不过现在是用快速傅立叶变换(FFT)来计算离散傅立叶变换(DFT),用DFT的幅度平方作为信号中功率的度量。
1958年, R,,并命名为布莱克曼-杜基谱估计器(简称BT谱估计器)。这种方法是先按照有限个观测数据估计自相关函数,再对其求傅里叶变换得到功率谱。在1965年FFT未出现以前,BT法一直是最常用的方法。
周期图较差的方差性能促使人们研究另外的分析方法。1927年,Yule提出用线性回归方程来模拟一个时间序列。Yule的工作实际上成了现代谱估计中最重要的方法——参数模型法谱估计的基础。
Walker利用Yule的分析方法研究了衰减正弦时间序列,得出Yule-Walker方程,可以说,Yule和Walker都是开拓自回归模型的先锋。
1930年,著名控制理论专家Wiener在他的著作中首次精确定义了一个随机过程的自相关函数及功率谱密度,并把谱分析建立在随机过程统计特征的基础上,即,“功率谱密度是随机过程二阶统计量自相关函数的傅立叶变换”,这就是Wiener—Khintchine定理。该定理把功率谱密度定义为频率的连续函数,而不再像以前定义为离散的谐波频率的函数。
1949年,Tukey根据Wiener—Khintchine定理提出了对有限长数据进行谱估计的自相关法,即利用有限长数据估计自相关函数,再对该自相关函数球傅立叶变换,从而得到谱的估计。1958年, Blackman和Tukey在出版的有关经典谱估计的专著中讨论了自相关谱估计法,所以自相关法又叫BT法。周期图法和自相关法都可用快速傅立叶变换算法来实现,且物理概念明确,因而仍是目前较常用的谱估计方法。
1948年,Bartlett首次提出了用自回归模型系数计算功率谱。自回归模型和线性预测都用到了1911年提出的Toeplitz矩阵结构,Levinson曾根据该矩阵的特点于1947年提出了解Yule-Walker的快速计算方法。这些工作为现代谱估计的发展打下了良好的理论基础。1965年,Cooley和Tukey提出的FFT算法,也促进了谱估计的迅速发展。
现代谱估计的提出主要是针对经典谱估计(周期图和自相关法)的分辨率