线性代数复习题.doc

文档介绍：例1 计算.
解
例2 计算.
解法1 “”


解法2 加边法



例3 设满足, 求.
解并项:
左乘:
计算:

例4 求解, ,
解

(1) :同解方程组为
基础解系, 特解
通解为(为任意常数)
(2) :同解方程组为
基础解系, ,
特解
通解为(为任意常数)

例5 向量组:, , ,
求向量组的一个最大无关组.
解对矩阵进行初等行变换可得


(1) :
的1,2,3,4列线性无关的1,2,3,4列线性无关
故是的一个最大无关组;
(2) :
的1,2,3列线性无关的1,2,3列线性无关
故是的一个最大无关组.
例6
用正交变换化为标准形.
解的矩阵
的特征多项式
的两个正交的特征向量,
的特征向量
正交矩阵
正交变换:标准形
例7 ,秩.
(1) 求;
(2) 用正交变换化为标准形.
解(1) 的矩阵(显见)

(2)

的特征向量依次为
, , (两两正交)
正交矩阵
正交变换
标准形
例8 设的一个特征向量为, 求数及的
全体特征值与特征向量.
解

:
由此可得:对应特征值只有1个线性无关的特征向量, 而特征
方程的基础解系为, 全体特征向量为.
例9 设方阵的特征值, 对应的特征向量分别为, 证明:
(1) 不是的特征向量;
(2) ,线性无关.
证(1) , 则

线性无关矛盾!
故不是的特征向量.
(2) 设数组使得, 则

线性无关
,线性无关.