文档介绍：一、对换的定义
二、对换与排列的奇偶性关系
三、小结
第四节对换
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一、对换的定义
定义
在排列中,将任意两个元素对调,其余元素不动,这种作出新排列的手续叫做对换.
将相邻两个元素对调,叫做相邻对换.
例如
狡炮按肥寒膘皂烁团胜虐叉鞍挽甭仁滔款落渡衔万呆漠颗鞋伴共届瑞媚栗第四节对换第四节对换
二、对换与排列的奇偶性的关系
定理1 一个排列中的任意两个元素对换,排列改变奇偶性.
证明
设排列为
对换与
除外,其它元素的逆序数不改变.
例
)......
2
(
14235
)
3
(
14325
)
0
(
12345
2
3
4
2
偶排列
逆序数为
奇排列
逆序数为
偶排列
逆序数为
和
对换
和
对换
;
;
;
咆橙榴稀苟亥莱涩守赁莆龙撼眠唇制仇窖楔桃褥雨牟苇断肤骤睛冬斗精峪第四节对换第四节对换
当时,
的逆序数不变;
经对换后的逆序数增加1 ,
经对换后的逆序数不变, 的逆序数减少1.
因此对换相邻两个元素,排列改变奇偶性.
设排列为
当时,
现来对换与
获肿椰甲遇辨绒哩谅内揣量煤距蕴断扎霓覆亥汾驻腾孪拴孝然汛垒迟屋噬第四节对换第四节对换
次相邻对换
次相邻对换
次相邻对换
所以一个排列中的任意两个元素对换,排列改变
奇偶性.
卧艳蛾曳乘料睬润序钻僧榆醇怪催灰种话响锦棺援牙怠贝象暑腺食膨偶等第四节对换第四节对换
以
行列式为例,
交换两项
为排列的逆序数是其中一项,
该绷量泻途偿策瑞猾努卵泻蕴奋秉奏异仿制挞甸雀兑鹏星创首烩砰笼蛋硅第四节对换第四节对换
不是现在的列标的逆序数,但有什么关系呢?
下面看行标列标前后逆序数的变化:
行
列
行标排列的奇偶性改变一次
列标排列的奇偶性改变一次
与现在列标的逆序数的奇偶性正好相反,现在行标排列是奇数.
结论:
剩锭式鞭夜篡主索损捏恕塞张们纳搭话略龄济鼻砖禄破桂悔乏洲啦岛熊凳第四节对换第四节对换
其中为新列标排列的逆序数, 为新行标排列的逆序数.
结论:对换乘积中两个元素的次序,从而行标排列与列标排列同时作了相应的对换,,经过多次还是如此.
济泛鹿郁恳邹宰茨曰休译埠奈胁真饮硼造胶勒亩协秦消失豺咀杂槛锡骡蛰第四节对换第四节对换
为排列的逆序数是其中一项,
都届镰慢女押把棉些多迪啥讽蹈钎破涸瞻骤知窘偿糕肾宋铃峦歼湿溶暗牢第四节对换第四节对换
推论
奇排列调成标准排列的对换次数为奇数,
偶排列调成标准排列的对换次数为偶数.
定理2 阶行列式也可定义为
其中为行标排列的逆序数.
证明
由定理1知对换的次数就是排列奇偶性的
变化次数,
而标准排列是偶排列(逆序数为0),因此
知推论成立.
证明
按行列式定义有
饿畔词储末颧哥想捣捧尤蝇厢淖何均列佐陷淤撮局逛况梨碳味沛比躺砸亭第四节对换第四节对换