文档介绍：第三章矩阵的初等变换
本章通过引进矩阵的初等变换,建立矩阵的秩的概念,然后再利用矩阵的初等变换求矩阵的逆矩阵和解线性方程组.
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§ 矩阵的初等变换
§ 矩阵的秩
§ 初等矩阵
§ 线性方程组的解
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第一节
矩阵的初等变换
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矩阵的初等变换是矩阵的一种十分重要的运算,它在解线性方程组、求逆矩阵及矩阵理论的探讨中都可起到非常重要的作用。
引例:用消元法解下面的线性方程组
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在上述过程中,对线性方程组的消元操作实际上就是对整个线性方程组进行了三种操作:
(1)对某一方程两边同时乘以不为零的常数;
(2)交换方程组中两个方程的位置;
(3)给某一方程乘以常数k加到另一个方程上去。
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上述的三种操作又都是可逆的,因而变换前的方程组与变换后的方程组是同解方程组。同时还看到,上述变换过程中实际上只对方程组的系数和常数进行运算,这就相当于是对该方程组所对应的增广矩阵进行了:
(1)给某一行所有元素都乘以一个非零常数;
(2)交换两行元素的位置;
(3)给某一行所有元素乘常数 k 加到另一行的对应元素上去。
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定义:下面三种变换称为矩阵的初等行变换:
1)交换两行(记为ri↔rj);
2)以数k 0乘某一行所有元素(记作rj×k);
3)把某一行所有元素的k倍加到另一行的对应元素上去(记作ri+krj )
把定义中和“行”换成“列”,即得矩阵的初等列变换的定义(所用记号是把“r”换成“c”)。
矩阵的初等行变换与初等列变换,统称为矩阵的初等变换。
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显然,三种初等变换都是可逆的,且其变换是同一类型的初等变换。变换ri↔rj的逆变换就是本身;变换 rj×k 的逆变换为 rj÷k ;变换 ri+krj 的逆变换为ri k rj。
如果 A 经过有限次初等变换变为矩阵 B,称矩阵 A与 B是等价的,记为A~B 。
矩阵的等价关系有如下性质:
反身性: A~ A
对称性: A~B ,则B ~ A
传递性: A~B, B ~ C,则A ~ C
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