文档介绍：2013年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)
数学(文科)
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一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,满分50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
,,则
A. B. C. D.
A. B. C. D.
,,则复数的模是
,那么
A. B. C. D.
,若输入的值为3,则输出的值是
,则该三棱锥的体积是
A. B. C. D.
A. B.
C. D.
,是两个不同的平面,下列命题中正确的是
,,则 ,,则
,,则 ,,则
,离心率等于,则C的方程是
A. B. C. D.
,关于向量的分解,有如下四个命题:
①给定向量,总存在向量,使;
②给定向量和,总存在实数和,使;
③给定单位向量和正数,总存在单位向量和实数,使;
④给定正数和,总存在单位向量和单位向量,使;
上述命题中的向量,和在同一平面内且两两不共线,则真命题的个数是
二、填空题:,满分20分.
(一)必做题(11~13题)
,公比为的等比数列,则
,则.
,则的最大值是.
(二)选做题(14、15题,考生只能从中选做一题)
14.(坐标系与参数方程选做题)
,极轴为轴的正半轴建立直角坐标系,则曲线的参数方程为.
15.(几何证明选讲选做题)
如图3,在矩形中,,,垂足为,则.
三、解答题:本大题共6小题,、证明过程和演算步骤.
16.(本小题满分12分)
已知函数.
(1) 求的值;
(2) 若,求.
17.(本小题满分13分)
从一批苹果中,随机抽取50个,其重量(单位:克)的频数分布表如下:
分组(重量)
频数(个)
5
10
20
15
(1) 根据频数分布表计算苹果的重量在的频率;
(2) 用分层抽样的方法从重量在和的苹果中共抽取4个,其中重量在的有几个?
(3) 在(2)中抽出的4个苹果中,任取2个,求重量在和中各有1个的概率.
18.(本小题满分13分)
如图4,在边长为1的等边三角形中,分别是边上的点,,是的中点,与交于点,将沿折起,得到如图5所示的三棱锥,其中.
(1) 证明://平面;
(2) 证明:平面;
(3) 当时,求三棱锥的体积.
19.(本小题满分14分)
设各项均为正数的数列的前项和为,满足且构成等比数列.
(1) 证明:;
(2) 求数列的通项公式;
(3) 证明:对一切正整数,有.
20.(本小题满分14分)
已知抛物线的顶点为原点,,过点作抛物线的两条切线,其中为切点.
(1) 求抛物线的方程;
(2) 当点为直线上的定点时,求直线的方程;
(3) 当点在直线上移动时,求的最小值.
21.(本小题满分14分)
设函数.
(1) 当时,求函数的单调区间;
(2) 当时,求函数在上的最小值和最大值,
参考答案
一、选择题
由题意知,,故;
由题意知,解得且,所以定义域为;
因为,所以,根据两个复数相等的条件得:即,,所以,的模;
;
;时,;时,;时,;
由三视图可看出该三棱锥的底面为直角边为的等腰直角三角形,高为,
所以该三棱锥的体积;
设所求直线为,因为垂直直线,故的斜率为,设直线的方程为,化为一般式为;因为与圆相切相切,所以圆心到直线的距离,所以,又因为相切与第一象限,所以,故,所以的方程为;
若与相交,且平行于交线,则也符合A,显然A错;若,则,故C错;,若平行交线,则,故D错;
由焦点可知可知椭圆焦点在轴上,由题意知,所以,故椭圆标准方程为
①②容易判断是对的,③给定单位向量和正数,可知的方向确定,的模确定,如图,若,则等式不能成立;④给定正数和,则和的模确定,若,则等式不成立。
11.;由题意知,,,,所以;
;
12.;因为,所以,因为曲线在点处的切线平行于轴,所以,所