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【考点20】基本不等式
2009年考题
1.(2009天津高考)设若的最小值为( )
A 8 B 4 C 1 D
【解析】选B. 因为,所以,
,
当且仅当即时“=”成立,故选择B.
2.(2009天津高考)设的最大值为( )
B. D.
【解析】选C. 因为,(当且仅当a=b=时等号成立).
3.(2009重庆高考)已知,则的最小值是( )
B.
【解析】选C. 因为当且仅当,
且,即时,取“=”号。
4.(2009湖南高考)若x∈(0, )则2tanx+tan(-x)的最小值为.
【解析】由,知所以当且仅当时取等号,即最小值是。
答案:
5.(2009湖南高考)若,则的最小值为.
【解析】,当且仅当时取等号.
答案:
6.(2009湖南高考)若,则的最小值为.
【解析】选,当且仅当时取等号.
答案:
7.(2009江苏高考)按照某学者的理论,假设一个人生产某产品单件成本为元,如果他卖出该产品的单价为元,则他的满意度为;如果他买进该产品的单价为元,(卖出或买进)的满意度分别为和,则他对这两种交易的综合满意度为.
现假设甲生产A、B两种产品的单件成本分别为12元和5元,乙生产A、B两种产品的单件成本分别为3元和20元,设产品A、B的单价分别为元和元,甲买进A与卖出B的综合满意度为,乙卖出A与买进B的综合满意度为
(1)求和关于、的表达式;当时,求证:=;
(2)设,当、分别为多少时,甲、乙两人的综合满意度均最大?最大的综合满意度为多少?
(3)记(2)中最大的综合满意度为,试问能否适当选取、的值,使得和同时成立,但等号不同时成立?试说明理由。
【解析】(1)
当时,,
, =
(2)当时,
由,故当即时,
甲乙两人同时取到最大的综合满意度为。
(3)由(2)知:=
由得:,
令则,即:。
同理,由得:
另一方面,
当且仅当,即=时,取等号。由(1)知=时h甲=h乙
所以不能否适当选取、的值,使得和同时成立,但等号不同时成立。
8.(2009湖北高考)围建一个面积为360m2的矩形场地,要求矩形场地的一面利用旧墙(利用旧墙需维修),其他三面围墙要新建,在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口,如图所示,已知旧墙的维修费用为45元/m,新墙的造价为180元/m,设利用的旧墙的长度为x(单位:米),修建此矩形场地围墙的总费用为y(单位:元)。
(Ⅰ)将y表示为x的函数:
(Ⅱ)试确定x,使修建此矩形场地围墙的总费用最小,并求出最小总费用。
【解析】(1)如图,设矩形的另一边长为a m,则=45x+180(x-2)+180·2a=225x+360a-360
由已知xa=360,得a=,
所以y=225x+
(II)
.当且仅当225x=时,等号成立.
即当x=24m时,修建围墙的总费用最