文档介绍：一、圆幂的定义:
在平面上,从点作半径为的圆的割线,从起到和该圆周相交为止的两线段之积是一个定值,称为点对于此圆周的圆幂.
圆幂定理:
(1)当在圆外时,点对于此圆的幂等于;
(2)当在圆内时,点对于此圆的幂等于;
(3)当在圆上时,规定:点对于此圆的幂等于.
二、根轴及其性质
:
对于两个已知圆的圆幂相等的点的轨迹是一条直线,该直线称为这两圆的根轴.
:
(1)若两圆与相离(半径分别为,且),点为的中点,点在线段上,且,,当两圆相离且半径相等时,它们的根轴是线段的中垂线.
(2)若两个圆是同心圆,则这两个圆不存在根轴.
(3)若两个圆相交,则它们的公共弦所在的直线就是它们的根轴.
(4)若两圆相切,则过两圆切点的公切线是它们的根轴.
(5)若三个圆的圆心互不相同,则任意两个圆的根轴共三条直线,它们相交于一点或互相平行.
(6)若两圆相离,则两圆的四条公切线的中点共线(都在根轴上).
思考:能否从解析几何的角度看根轴?
三、例题
例1 如图,设和分别是的内心和外心,和分别是的内切圆和
外接圆的半径,过作的外接圆的弦.
求证:(1);
(2);
(3).(欧拉公式)
例2 如图,设圆与圆相离,引它们的一条外公切线切圆于,切圆于,
又引它们的一条内公切线切圆于,切圆于,
求证:(1);(2)直线是分别以,为直径的圆,的根轴;(3)直线和的交点在两圆的连心线上.
例3(1997年全国联赛)已知两个半径不相等的
与相交于,两点,且,分别与内切于,两点,,,三点共线,求证:.

四、练****题
,为的边,上的点,分别以,为直径的圆与交于点,.求证:的垂心在直线上.
2. (第36届IMO)设、、、是一条直线上依次排列的四个不同的点,分别以
,为直径的圆,交于点,,,直线与交圆于点及,直线与交圆于点及.
求证:
(1),,,四点共圆;
(2),,,四点共圆;
(3),,共点.
3. (第40届IMO国家队选拔题)凸四边形的四边满足,圆分别与凸四边形的,两边相切于,两点,与对角线相交于,:存在另一个过,两点,且分别与,的延长线相切的圆.