文档介绍：§ 双因素方差分析
I 无交互作用的双因素方差分析
(1) 数学模型现在考虑影响试验指标的因素有两个:A, B。因素A有水平r个;有水平s个;因素A, B的各种组合水平均只作一次试验;两因素之间无交互作用。
数据结构表
因素B
因素A
假设:(1*) 独立;
(2*) ,即具有相同的方差;
(3*) ,其中,且独立;
数学模型: ,
其中:—总平均值;
; ;
—因素A在水平Ai 下对试验指标的效应值;
—因素B在水平Bj 下对试验指标的效应值;
; ;
—因素A, B的交互效应值;
—随机部分,假定:独立同正态分布;
注: “无交互作用”等价于:,即
;
(2) 方差分析
(i) 假设检验问题两种因素分别进行检验:
即因素A对试验指标影响不显著;
即因素B对试验指标影响不显著;
注:当和成立时,
.
(ii) 构造F-统计量及否定域设
;
;
;
;
;
;
;
注:注意,
.
这里利用了“无交互效应”的假设条件:.
由此可见,与及无关,即与假设和是否成立无关。“无交互效应”的假设条件就是这里提出来的!!
* 引理: 设,则
(1*) 分解式:;
(2*) 独立性:{ , , }是两两独立的,且+与独立;
(3*) 统计特性:
当和同时成立时,有;
当成立时,有;
当成立时,有;
对任意情形,有
.
注:是的一个无偏估计.
证
.
易见, (1*)成立.
独立性(2*)的证明如下: 注意,
;
. (**)
而这两个等式的成立只要展开即知. 于是,
与独立;
与独立;
从而,
与独立;
故与独立;同理,可证: 与独立;按抽样分布定理,与和均独立,;显然,+与独立.
结论(3*)是抽样分布定理和结论(2*)的推论.
* 构造F-统计量如下:
,当成立时;
,当成立时;
注:上面的分析表明:对假设和可以分别进行检验。
*否定域的结构解释:
当时,应接近零;
当时,应接近零;
按此解释,和的否定域结构形式为:
;;
为了决定a, b , 构作方程:
;;
由此即可决定a, b .
(iii) 方差分析表
无交互效应的双因素方差分析表
误差源
平方和
自由度
均方差
F-值
临界值
因素A
r-1
因素B
s-1
误差
(r-1)(s-1)
总误差
rs-1
在进行判决时,首先选取,然后由下列方程确定临界值a和b:
; .
最后进行判决:
若,则拒绝;否则,接受;
若,则拒绝;否则,接受;
()
此题的数据表为
产品合格率
B1(现用量)
B2(增加5%)
B3(增加8%)
A1(甲地)
A2(乙地)
A3(丙地)
59
63
61
70
74
66
66
70
71
因素A = {A1, A2, A3} ;
因素B = {B1, B2, B3} , 即每个因素三个水平。
试问:每个水平组合各作一次试验,要求分析两个因素对产品合格率的影响是否显著?
练****题() :3;
II 有交互作用的双因素方差分析