文档介绍：数学通讯——年第期上半月· 复习参考·
活跃在高考中的函数零点的问题
李连方
浙江湖州中学,

中新增的知识点,从几年高考的命题来看,它解往往蕴涵着“数形结合”的数学思想方法,
, 在解决有关函数零点的个数问题时,可以借
函数零点的问题可以和二次函数的根的分助函数的图象的生动和直观性来寻找零点的
布、三次函数的图象或导数的极值等进行“交个数,通过“形”的几何特征发现“数”与“形”
汇”编制试题,所以其试题综合性较强,本文之间新的关系,从而将代数问题转化为几何
就函数零点在高中数学中的求解方法加以问题.
探讨. 例年湖北卷关于的方程
.利用函数图象一一一,给出下列四个
例设定义域为的函数命题:
①存在实数,使得方程恰有个不同
≠的实根;
一, ②存在实数,使得方程恰有个不同
若关于的方程。—有三的实根;
个不同的实根,,。,求; ; ③存在实数,使得方程恰有个不同
的值. 的实根;
分析设一,,则原方程可化为④存在实数,使得方程恰有个不同
一,由于原方程有三个不同的根,则的实根.
函数和函数一厂的图象应该有三其中真命题的序号是.
个交点,则由函数—的图象得,注意分析据题意,可令
一—≥①
到一关于直线一对称,则
『工厶则方程化为
可得到三个根分别为一,。一,。一, 一一②
所以; 一. 作出函数—。一的图象,结合函
数的图象可知:
当￡或时,方程①有个
不等的根;
当时,方程①有个根;
当—时,方程①有个根.

散当: 时,代人方程②,解得,
反思在“数”中构“形”是数学问题求此时方程②有两个不等根或,故
解的重要方法,;
的概念可知,函数一厂丁的零点㈢方程当方程②有两个不等正根时,即
,一的根臼函数一的图象与
÷时,方程②有两根且均小于大于,故
· 复习参考· 数学通讯一一年第期上半月
相应的满足方程一一的解有个,即
分析由方程厂十一得一
原方程的解有个;
—,令一。,
当一÷ 时,方程②有两个相等正根
‘± 得其导函数一一一一

一÷ ,相应的原方程的解有个. ,所以当∈一。。, , 。。时,
厶
故填①②③④.
,即在一。,和,。
.利用零点存在定理
例设函数厂. 。,, 上递增;当∈, 时, ,即
∈,且厂一,: ,求证:
厶在,:一
函数厂在区间,内至少有一个零点.
, 的两相邻整数对应的函数值一
· 分析由厂一一一得口
‘
,: ,由零点存在定理和函数
一
, 化简得一.
厶的单调性可知,函数在, 和,
由于口,则必有口,厂内各有一个根.
.
因此所求一.
又一, .利用极值与单调性
—~ . 例年福建理已知函数厂
若≤,由于,则,故有
一一。,: .问:是否存在
厂· 厂,所以函数在区间, 实数,使得一厂王的图象与—.的
内至少有一个零点; 图象有且只有三个不同的交点若存在,求出
若,则厂,故