文档介绍：高等数学II-A
复****题集
第一章函数与极限
一、知识点考点精要
(一)几个重要概念
、单调性、奇偶性、周期性.
2. 初等函数
(定义,定义)
(定义,定义)
注意 1。在上述定义中,若特殊地取A=0,则函数叫做或时的无穷小,即无穷小是以0为极限的函数。0是惟一的作为无穷小的数。
2。在的定义中,x是既从x0的左侧又从x0的右侧趋于的。若仅考虑x从的左侧趋于x0(记做或),此时把改为,那么A就叫做当时的右极限,记做
或
3。研究时的极限,是为了研究在自变量的变化过程中的性态,此时有无极限与在点x0有无定义完全无关。即使f(x)在点x0有定义,在讨论时的极限的过程中,函数值不起任何作用,因此定义中要求。
40 在的定义中,若x>0且无限增大,则只要把定义中的|x|>X改为x>X即可得的定义。同样若而|x|无限增大,则只要把|x|>X改为x<-X便得的定义。
50 无穷大的定义(M—δ(X)定义)
注意 10 ,此时的极限是不存在的,为了反映||无限增大这种性态,也说成的极限为无穷大。
20 在定义中把||>M换成>M(或<-M),就记做
(或)
(二)极限存在的判别法
1.
2.,其中为无穷小量。
:若数列{xn},{yn},{zn}满足
(1) (n=1, 2, 3, …);
(2),则数列{xn}的极限存在,且。这一准则可以推广到函数极限情形。
。
(三)极限的性质
1. 极限的惟一性数列{xn}不能收敛于两个不同的极限。
。
(1)若,且A>0(或A<0),则必存在x0的某一去心邻域,当时,)(或)。
(2)若在x0的某一去心邻域内f(x)(或),且,则A≥0(或A≤0)
(四)极限的运算
若,,则
1.
上述情形均可以推广到有限个函数的和、差、积的情形,特别地
且有限个无穷小的和、差、积仍为无穷小,有界函数与无穷小之积仍为无穷小。
2. (B≠0)
上述四则运算以数列情形依然成立。
,则。
(五)两个重要极限
1. 2.
(六) 无穷小的比较
若α和β都是在同一个自变量的变化过程中的无穷小,且α≠0,则
(1) 若,则说β是比α高阶的无穷小,记做β=0(α)。
(2) 若,则说β是比α低阶的无穷小。
(3)若,则说β是关于α的k阶无穷小。
(4),则说β与α是等价无穷小,记做α~β。
(七)求极限问题方法总结
例如:
例如:求
因,所以
,当时,用x的高次方项去除分子、分母。
例如:
一般地
例如:
这里注意到当时,tan2x~2x, sin5x~5x。
一般常用的等价无穷小有:当时,
x~sinx~ tanx~arcsinx~arctanx~ln(1+x)~ex-1, 1-cosx~,
例如:,注意到x是无穷小量,是有界函数。
,约去使分母极限为0的公因式。
例如:
,约去使分母极限为0的公因式
例如:
例如:
以后还将学到
10. 利用定积分的定义求极限
11. 利用级数收敛的必要条件求极限
(八) 函数的连续性
在点x0处连续
2. 间断点
间
断
点
第一类间断点:f(x0-0)与f(x0+0)都存在
可去间断点:f(x0-0)=f(x0+0)都存在
跳跃间断点:f(x0-0)=f(x0+0)都存在
第二类间断点:f(x0-0)与f(x0+0)都存在
不连续连续的点叫做间断点。
3.
连续函数的运算
连续函数的和、差、积、商(分母不为零)均为连续函数;连续函数的反函数、复合函数仍为连续函数。一切初等函数在定义域内都是连续的。
(1)最大值和最小值定理。在闭区间上连续的函数在该区间上一定有最大值和最小值。
(2)有界性定理。在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界。
(3)零点定理。设在[a, b]上连续,且f(a)与f(b)异号(即f(a) f(b)<0),则在(a,b) 内至少的一个零点,即至少有一点ξ∈(a,b),使f(ξ)=0。
(4)介值定理。设在[a, b]上连续,且在这区间的端点取不同的函数值f(a)=A及f(b)=B,则对于A与B之间的任意一个数C,在(a,b)内至少有一点ξ,使得
f(