同济第五版高数答案(高等数学课后习题解答).pdf

文档介绍：习题 11
1. 设 A(, 5)(5, ), B[10, 3), 写出 AB, AB, A\B 及 A\(A\B)的表达式.
解 AB(, 3)(5, ),
AB[10, 5),
A\B(, 10)(5, ),
A\(A\B)[10, 5).
2. 设 A、B 是任意两个集合, 证明对偶律: (AB)CAC B C .
证明因为
x(AB)CxAB xA 或 xB xAC 或 xB C  xAC B C,
所以(AB)CAC B C .
3. 设映射 f : X Y, AX, BX . 证明
(1)f(AB)f(A)f(B);
(2)f(AB)f(A)f(B).
证明因为
yf(AB)xAB使 f(x)y
(因为 xA 或 xB) yf(A)或 yf(B)
 y f(A)f(B),
所以 f(AB)f(A)f(B).
(2)因为
yf(AB)xAB使 f(x)y(因为 xA 且 xB) yf(A)且 yf(B) y f(A)f(B),
所以 f(AB)f(A)f(B).
4. 设映射 f : XY, 若存在一个映射 g: YX, 使Ifg X , Igf Y , 其中 IX、IY 分别是 X、
Y 上的恒等映射, 即对于每一个 xX, 有 IX xx; 对于每一个 yY, 有 IY yy. 证明: f 是双射, 且
g 是 f 的逆映射: gf 1.
证明因为对于任意的 yY, 有 xg(y)X, 且 f(x)f[g(y)]I y yy, 即 Y 中任意元素都是 X
中某元素的像, 所以 f 为 X 到 Y 的满射.
又因为对于任意的 x1x2, 必有 f(x1)f(x2), 否则若 f(x1)f(x2) g[ f(x1)]gf(x2)]  x1x2.
因此 f 既是单射, 又是满射, 即 f 是双射.
对于映射 g: YX, 因为对每个 yY, 有 g(y)xX, 且满足 f(x)f[g(y)]I y yy, 按逆映射的
定义, g 是 f 的逆映射.
5. 设映射 f : XY, AX . 证明:
(1)f 1(f(A))A;
(2)当 f 是单射时, 有 f 1(f(A))A .
证明(1)因为 xA  f(x)yf(A)  f 1(y)xf 1(f(A)),
所以 f 1(f(A))A.
(2)由(1)知 f 1(f(A))A.
另一方面, 对于任意的 xf 1(f(A))存在 yf(A), 使 f 1(y)xf(x)y . 因为 yf(A)且 f 是
单射, 所以 xA. 这就证明了 f 1(f(A))A. 因此 f 1(f(A))A .
6. 求下列函数的自然定义域
(1) xy  23 ;
解由 3x20 得 x  2 .函数的定义域为[ 2 , ) .
3 3
(2)y  1 ;
1x2
解由 1x20 得 x1.函数的定义域为)(11)(1).
(3)y 1 1 x2 ;
x
解由 x0 且 1x20 得函数的定义域 D[1, 0)(0, 1].
(4)y  1 ;
4x2
解由 4x20 得|x|2函数的定义域为(22).
(5) sin xy ;
解由 x0 得函数的定义 D[0).
(6) ytan(x1);

解由 x 1(k0, 1, 2, )得函数的定义域为 kx  1 (k0, 1, 2, ).
2 2
(7) yarcsin(x3);
解由|x3|1 得函数的定义域 D[24].
1
(8) xy  arctan3 ;
x
解由 3x0 且 x0 得函数的定义域 D(0)(03).
(9) yln(x1);
解由 x10 得函数的定义域 D(1).
1
(10) ey x .
解由 x0