文档介绍：第四章不定积分教学目的:理解原函数概念、不定积分的概念;掌握不定积分的基本公式,掌握不定积分的性质,掌握换元积分法(第一,第二)与分部积分法;会求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分。教学重点:不定积分的概念;不定积分的性质及基本公式;换元积分法与分部积分法。教学难点:换元积分法;分部积分法;三角函数有理式的积分与无理函数的积分。教学方法:讲授法、实践法。§、原函数与不定积分的概念定义1如果在区间I上可导函数的导函数为,即对任一,都有那么函数就称为(或在区间I上的原函数..例如因为,所以是的原函数..又如当时,因为,所以是的原函数..提问:和还有其它原函数吗?原函数存在定理如果函数在区间I上连续,那么在区间I上存在可导函数,使对任一都有简单地说就是连续函数一定有原函数..两点说明::第一,如果函数在区间I上有原函数,,的任意两个原函数之间只差一个常数,即如果和都是的原函数,则(C为某个常数)..定义2在区间I上函数f(x)的带有任意常数项的原函数称为(或)在区间I上的不定积分,记作,其中记号称为积分号,称为被积函数,称为被积表达式,x称为积分变量..根据定义,如果是在区间I上的一个原函数,那么就是的不定积分,即因而不定积分可以表示的任意一个原函数..例1因为是的原函数,所以..因为是的原函数,所以....解:合并上面两式得到例3设曲线通过点且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍,求此曲线的方程..解设所求的曲线方程为,按题设,曲线上任一点处的切线斜率为,即是的一个原函数..因为,,故必有某个常数C使即曲线方程为因所求曲线通过点,故于是所求曲线方程为积分曲线:函数的原函数的图形称为的积分曲线..从不定积分的定义即可知下述关系:,或.;又由于是的原函数,所以,或记作..由此可见,微分运算(以记号d表示)与求不定积分的运算(简称积分运算,以记号表示)是互逆的,当记号与d连在一起时,或者抵消或者抵消后差一个常数..二、基本积分表(1)(2);(3);(4);(5);(6);(7);(8);(9);,(10);,(11);,(12);,(13);,(14);,(15)..例4例5例6三、不定积分的性质性质1函数的和的不定积分等各个函数的不定积分的和,即..这是因为,性质2求不定积分时,被积函数中不为零的常数因子可以提到积分号外面来.,即例7...§、第一类换元法设有原函数,且可微,那么,根据复合函数微分法,=定理1设f(u)具有原函数,可导,,,如果函数g(x)可以化为的形式,....例5.=+,..即例7..,:..例14..例15..例16..例17.=、第二类换元法定理2设是单调的、可导的函数,,:设,,那么,,,,:设,,:,.提示:,.(a>0).解法一:设,,那么=,于是因为,,所以,其中解法一:设那么,其中提示提示:,.解法二:设,那么,其中提示:=:当时,设那么于是因为,,所以其中当时,令于是,,:当时,设,那么,其中当于是,其中提示:.提示:,.综合起来有