文档介绍：柯西不等式与排序不等式
一、基本概念:
(一)定理1:二维形式的柯西不等式
若都是实数,则,当且仅当时,等号成立.
证明:(一)代数证明:
当且仅当时,等号成立.
(二)向量证明:构造向量,则有
其坐标形式即为
当且仅当共线或时等号成立,即当且仅当时,等号成立.
推论1:(来源于向量证明中)
推论2:(将原式中都变为)
定理2:柯西不等式的向量形式
设是两个向量,则当且仅当是零向量,或存在实数,使时,等号成立.
证明:上述向量证明已经说明完毕
定理3:二维形式的三角不等式
设,那么
证明:
即原命题的证
(二)一般形式的柯西不等式
设是实数,则
当且仅当或存在一个数,使得时,等号成立.
简记作:平方和的乘积大于等于乘积和的平方
分析:我们可以利用空间向量很容易证明出三维形式的柯西不等式,但维数再高时就没有几何模型可以构造证明了,那么如何证明这一重要的不等式呢?
证明:(一)构造二次函数:,
(二)归纳法和平均值不等式:
(1)当时,有
即命题成立
(2)假设当时命题成立,当时,由于
由平均值不等式,得
由归纳假设得
由(1)(2)得原命题成立
(三)构造单调数列:构造数列,其中
则
即,所以单调减少,从而对一切,有,故命题成立.
(四)归纳法证明更强的结论:
(1)当时,
(2)假设当时命题成立,当时,由归纳假设
由(1)(2)得原命题成立
(三)柯西不等式的变形形式
变形1:已知都是实数,求证:
说明:此变形为的特殊形式,经过整理,在都为正数的条件下可变为均值不等式
变形2:已知都是实数,则:
变形3:已知同号且不为0,则:
上述各种形式如果灵活运用会给解决问题带来便利.
(四)排序不等式
设为两组实数,是的任一排列,则
,当且仅当或时,反序和等于顺序和
简记作:反序和乱序和顺序和
证明:设为两组实数,是的任一排列,因为
得全排列有个,所以(1)
的不同值也只有有限个(个数),其中必有最大值和最小值,考虑(1)式,若,则有某,将(1)中对换,得(2)
这说明将(1)中的第一项调换为后,和式不减小.
若则转而考察,,可以证明,将(1)中的第一项换为,第二项换为后,和式不减小,
如此继续下去,经有限步调整,可知一切和数中,最大和数所对应的情况只能是由小到大排序的情况,最大和数是顺序和,即顺序和乱序和
同样可证,最小和数是反序和,即乱序和逆序和
二、习题精练:
【柯西不等式应用】
(一)求最值
例1:设,求证:.
例2:设,求证:
例3:设,求证:
例4:,求的最小值________
例5:,求的最大值_________
1. 的最小值为_________
2.,最小值为_________4
3. 最小值为__________9
,则的最小值为___________
7. ,的最大值为______
8. 求函数的最大值__________________5
解:
9. 若,且,则的最大值是________
10. 若,且,则的最大值是________
11. 若实数满