文档介绍：第2章递归与分治策略
问题分析
最短路径选择
求A到D的最短路径
A
B
C
D
A1:4
A3:3
A2:5
B1:6
B2:4
C1:4
C2:3
C3:2
C4:5
C5:6
将要求解的较大规模的问题分割成k个更小规模的子问题。
算法总体思想
n
T(n/2)
T(n/2)
T(n/2)
T(n/2)
T(n)
=
对这k个子问题分别求解。如果子问题的规模仍然不够小,则再划分为k个子问题,如此递归的进行下去,直到问题规模足够小,很容易求出其解为止。
算法总体思想
对这k个子问题分别求解。如果子问题的规模仍然不够小,则再划分为k个子问题,如此递归的进行下去,直到问题规模足够小,很容易求出其解为止。
n
T(n)
=
n/2
T(n/4)
T(n/4)
T(n/4)
T(n/4)
n/2
T(n/4)
T(n/4)
T(n/4)
T(n/4)
n/2
T(n/4)
T(n/4)
T(n/4)
T(n/4)
n/2
T(n/4)
T(n/4)
T(n/4)
T(n/4)
将求出的小规模的问题的解合并为一个更大规模的问题的解,自底向上逐步求出原来问题的解。
算法总体思想
将求出的小规模的问题的解合并为一个更大规模的问题的解,自底向上逐步求出原来问题的解。
n
T(n)
=
n/2
T(n/4)
T(n/4)
T(n/4)
T(n/4)
n/2
T(n/4)
T(n/4)
T(n/4)
T(n/4)
n/2
T(n/4)
T(n/4)
T(n/4)
T(n/4)
n/2
T(n/4)
T(n/4)
T(n/4)
T(n/4)
算法总体思想
将求出的小规模的问题的解合并为一个更大规模的问题的解,自底向上逐步求出原来问题的解。
n
T(n)
=
n/2
T(n/4)
T(n/4)
T(n/4)
T(n/4)
n/2
T(n/4)
T(n/4)
T(n/4)
T(n/4)
n/2
T(n/4)
T(n/4)
T(n/4)
T(n/4)
n/2
T(n/4)
T(n/4)
T(n/4)
T(n/4)
分治法的设计思想是,将一个难以直接解决的大问题,
分割成一些规模较小的相同问题,以便各个击破,
分而治之。
凡治众如治寡,分数是也。
----孙子兵法
递归的概念
直接或间接地调用自身的算法称为递归算法。用函数自身给出定义的函数称为递归函数。
由分治法产生的子问题往往是原问题的较小模式,这就为使用递归技术提供了方便。在这种情况下,反复应用分治手段,可以使子问题与原问题类型一致而其规模却不断缩小,最终使子问题缩小到很容易直接求出其解。这自然导致递归过程的产生。
分治与递归像一对孪生兄弟,经常同时应用在算法设计之中,并由此产生许多高效算法。
下面来看几个实例...
递归的概念
例1 阶乘函数
阶乘函数可递归地定义为:
边界条件
递归方程
边界条件与递归方程是递归函数的二个要素,递归函数只有具备了这两个要素,才能在有限次计算后得出结果。
递归的概念
Public static int factorial(int n)
{
if(n==0) return 1;
Return n*factorial(n-1);
}
递归的概念
例2 i数列
无穷数列1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,…,i数列。它可以递归地定义为:
边界条件
递归方程
i数可递归地计算如下:
public static int i(int n)
{
if (n <= 1) return 1;
return i(n-1)+i(n-2);
}