文档介绍：基本不等式及其应用
一、知识点:
1、重要不等式:对于任意实数a、b,有a2+b2
2ab,当且仅当时,等号成立.
2、基本不等式:如果a>b,b>0,那么, 当且仅当时,等号成立.
3、对于基本不等式,不仅要记住原始形式,而且要掌握它的变形及公式的逆用等。
例如: (a>0,b>0)等,同时还要注意不等式成立的条件和等号成立的条件.
4、重要函数,求其值域主要依据基本不等式及函数的单调性,函数在上为增函数,在上为减函数.
5、在利用均值不等式求最值时,要紧扣“一正、二定、三相等
”的条件.
其中:“一正”是信息和前提;“二定”是解题的关键,通过对所给式进行巧妙分析、变形、组合、添加系数使之能够出现定值;“三相等”是保证和易错点,并且多次使用均值不等式时,要保持每次等号成立条件的一致性.
二、典型例题
考点一利用基本不等式比较大小
例1 若a>0,b>0,a+b=2,则下列不等式对一切满足条件的a,b恒成立的是(写出所有正确命题的编号) .
ab≤1;②;③a2+b2≥2;
④a3+b3≥3;⑤
变式:设a、b∈R+,试比较的大小.
考点二利用基本不等式求最值
例2 已知正数a、b满足a+b=1.
(1)求的最大值;
(2)求的最小值.
变式:
1、已知x,y∈R+,且满足,则xy的最大值是.
2、设a、b、c∈R+,则(a+b+c)的最小值为.
3、已知a>0,b>0,则的最小值是
4、已知x、y、z为正实数,且满足x-2y+3z=0,则的最小值是.
5、下列各函数中,最小值为2的函数是( )
=x+ =sin x+
= =
考点三利用基本不等式进行防缩
例3若正实数x,y满