文档介绍：基本不等式及其应用
篇一：基本不等式及其应用
基本不等式及其应用
一、知识结构
二、重点叙述
1. 基本不等式模型一般地,如果a0,b0,则
立。我们常把
叫做正数a、b的算术平均数,把ab叫做正数a、b的几何平均数,
,或
,当且仅当a=b时等号成
即两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数,当且仅当两个正数相等时等号成立。拓展:
若a、b∈R,则
2. 基本不等式证明方法
,当且仅当a=b时等号成立。
用
①利用基本不等式证明不等式或比较大小; ②利用基本不等式求最值或求范围; ③利用基本不等式解决实际问题。三、案例分析
案例1：(1)（2009天津·理）设
的最小值为
A 8 B 4 C 1D (2) （2007海南、宁夏·理7）已知
，
，
成等差数列，
若
成等比数列，则
Ａ．
Ｂ．
的最小值是（）
Ｃ．
Ｄ．
分析：（1）由是与的等比中项，得
。用“1代换法”，把
看成，进而利用基本不等式求得最小值。
（2）可用直接法解之。根据等差、等比数列的“等距离”性质，把多元函数
转化为x、y的二元函数，由二元的基本不等式求其最小值。也可以用
特殊值法解决。解：（1）∵
是
与
的等比中项，∴
，得
。
∴，
当且仅当即时，“=”成立。故选择C。成等差数列，
成等比数列，
（2）（直接法）∵
∴
∴，
∵，，∴，∴，当且仅当时，等号
成立。 ∴
。故选D。
成等差数列，
成等比数列分别都为
另解：
（特殊值法）令
，则
，故选D。
案例2：(1) （2009重庆·文）已知A．2
B．
，则C．4
的最小值是（） D．5
(2)（2007山东·理16）函数y=loga (x+3)-1(a0,a1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny+1=0上，其中m，n＞0，则
的最小值为________________.
分析：(1)用基本不等式解之，由于两次使用基本不等式，两次的“等号”成立应该“同时”。
(2)抓住函数图象过定点，求得定点A的坐标，建立m、n的线性关系，两次应用基本不等式求得最小值，同样注意两次的“等号”成立是否“同时”？只有“同时”，最小值才存在。 (1)C；（2）8
解：(1)因为，
当且仅当(2)∵函数
。
∵点A在直线
，且，即时，取“=”号。故选C。的图象恒过定点A，∴
的坐标为
上，∴。
∵m，n＞0，∴，
当且仅当，且，即时，等号成立。
所以的最小值为8。
的最大值。
，求ab的取值范围。
案例3：(1)求函数(2)已知正数a、b满足
(3)已知a,b＞0，，求的最大值。
分析：(1)对于无理函数，先平方，再用基本不等式“和定值积最大”求之，注意“等号”成立的条件；(2) 不等式
转化为
是a与b的和与积的等式，利用基本
的二次不等式，解二次不等式可得ab的取值范
围；(3)把化为，按的“和定值”的模型设计基
本不等式，可求得存在性。解：(1)∵函数∴
的最大值，应用基本不等式都要注意“等号”成立的
的定义域为
，
，∴。
当且仅当所以函数(2)∵∵∴∴∵
，∴
，即时，等式成立。∵
的最大值是
。
，∴。
，∴
，令
，解得，即
，。
，当且仅当
，则。
，当且仅当
时，等号成立。。
时，等号成立。
所以ab的取值范围是
(3) ∵a,b＞0，且，
∴，
当且仅当，且，
即时，取得最大值。
所以的最大值为。
案例4：（2009湖北·文17）
围建一个面积为360m2 的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m,新墙的造价为180元/m，设利用的旧墙的长度为x，围建总费用为y(单位：元)。（Ⅰ）将y表示为x的函数：
（Ⅱ）试确定x,使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用。分析；画图，理解题意，建立总费用的函数
，显然
篇二：基本不等式及应用
基本不等式及应用
一、考纲