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,就是优先考虑,取决于,常用的方法有:①观察法;②配方法;③反函数法;④不等式法;⑤单调性法;⑥数形法;⑦判别式法;⑧有界性法;⑨换元法(又分为法和法)
例如:①形如y=,可采用法;② y=,可采用法或法;③ y=a[f (x)]2+bf (x)+c,可采用法;④ y=x-,可采用法;⑤ y=x-,可采用法;⑥ y=可采用法等.
典型例题
例1. 求下列函数的定义域:
(1)y=;(2)y=; (3)y=.
解:(1)由题意得化简得
即故函数的定义域为{x|x<0且x≠-1}.
(2)由题意可得解得
故函数的定义域为{x|-≤x≤且x≠±}.
(3)要使函数有意义,必须有
即∴x≥1,故函数的定义域为[1,+∞).
变式训练1:求下列函数的定义域:
(1)y=+(x-1)0 ; (2)y=+(5x-4)0; (3)y=+lgcosx;
解:(1)由得所以-3<x<2且x≠1.
故所求函数的定义域为(-3,1)∪(1,2).
(2)由得∴函数的定义域为
(3)由,得
借助于数轴,解这个不等式组,得函数的定义域为
例2. 设函数y=f(x)的定义域为[0,1],求下列函数的定义域.
(1)y=f(3x); (2)y=f();
(3)y=f(;(4)y=f(x+a)+f(x-a).
解:(1)0≤3x≤1,故0≤x≤,y=f(3x)的定义域为[0, ].
(2)仿(1)解得定义域为[1,+∞).
(3)由条件,y的定义域是f与定义域的交集.
列出不等式组
故y=f的定义域为.
(4)由条件得讨论:
①当即0≤a≤时,定义域为[a,1-a];
②当即-≤a≤0时,定义域为[-a,1+a].
综上所述:当0≤a≤时,定义域为[a,1-a];当-≤a≤0时,定义域为[-a,1+a].
变式训练2:若函数f(x)的定义域是[0,1],则f(x+a)·f(x-a)(0<a<)的定义域是( ) A. B.[a,1-a] C.[-a,1+a] D.[0,1]
解:B
例3. 求下列函数的值域:
(1)y= (2)y=x-;(3)y=.
解:(1)方法一(配方法)
∵y=1-而
∴0<∴∴值域为.
方法二(判别式法)
由y=得(y-1)
∵y=1时,∵R,∴必须=(1-y)2-4y(y-1)≥0.
∴∵∴函数的值域为.
(2)方法一(单调性法)
定义域,函数y=x,y=-均在上递增,
故y≤
∴函数的值域为.
方法二(换元法)
令=t,则t≥0,且x=∴y=-(t+1)2+1≤(t≥0),
∴y∈(-∞,].
(3)由y=得,ex=∵ex>0,即>0,解得-1<y<1.
∴函数的值域为{y|-1<y<1}.
变式训练3:求下列函数的值域:
(1)y=;(2)y=|x|.
解:(1)(分离常数法)y=-,∵≠0,
∴y≠-.故函数的值域是{y|y∈R,且y≠-}.
(2)方法一(换元法)
∵1-x2≥0,令x=sin,则有y=|sincos|=|sin2|,
故函数值域为[0,].
方法二 y=|x|·
∴0≤y≤即函数的值域为.
(x)=x2-x+a的定义域和值域均为[1,b](b>1),求a、b的值.
解:∵f(x)=(x-1)2+a-.
∴其对称轴为x=1,即[1,b]为f(x)的单调递增区间.
∴f(x)min=f(1)=a-=1 ①
f(x)max=f(b)=b2-b+a=b ②
由①②解得
变式训练4:已知函数f(x)=x2-4ax+2a+6 (x∈R).
(1)求函数的值域为[0,+∞)时的a的值;
(2)若函数的值均为非负值,求函数f(a)=2-a|a+3|的值域.
解: (1)∵函数的值域为[0,+∞),
∴Δ=16a2-4(2a+6)=02a2-a-3=0∴a=-1或a=.
(2)对一切x∈R,函数值均非负,∴Δ=8(2a2-a-3)≤0-1≤a≤,∴a+3>0,
∴f(a)=2-a(a+3)=-a2-3a+2=-(a+)2+(a).
∵二次函数f(a)在上单调递减,∴f(a)min=f=-,f(a)max=f(-1)=4,
∴f(a)的值域为.
小结归纳
:一是给出解释式(如例1),应抓住使整个解式有意义的自变量的集合;二是未给出解析式(如例2),就应抓住内函数的值域就是外函数的定义域;三是实际问题,此时函数的定义域除使解析式有意义外,还应使实际问题或几何问题有意义.
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