文档介绍：数学直通车--基本初等函数(I)
知识体系
第一节一次函数、二次函数
基础梳理
1. 一次函数的性质与图象
(1),值域为R.
(2)一次函数具有如下一些主要性质:
①函数值的改变量与自变量的改变量的比值等于常数k;
②当k>0时,一次函数是;当k<0时,一次函数是;
③当b=0时,一次函数变为函数,是奇函数;当b≠0时,它既不是,又不是;
④直线y=kx+b与x轴的交点为,与y轴的交点为
y=kx+b(k≠0)
增函数
减函数
正比例
奇函数
偶函数
(0,b)
2. 二次函数的性质与图象
(1)函数叫做二次函数,它的定义域是
(2)二次函数有如下性质:
①函数的图象是,抛物线顶点的坐标是,抛物线的对称轴是;
②当a>0时,抛物线开口向上,函数在处取;在区间上是减函数,在上是增函数;
③当a<0时,抛物线开口,函数在处取最大值;在区间上是增函数,在上是减函数;
④与y轴的交点是
⑤当Δ=b2-4ac>0时,与x轴两交点的横坐标分别是方程a 的的两根;当Δ=0时,与x轴切于一点;当Δ<0时,与x轴;
⑥当b≠0时,是非奇非偶函数;当b=0时,是;
⑦对于函数f(x),若对任意自变量x的值,都有f(a+x)=f(a-x),则f(x)的图象关于直线对称.
R.
一条抛物线
最小值
向下
(0,c)
没有交点
偶函数
x=a
3. 二次函数、一元二次方程、一元二次不等式三者之间的关系
判别式
二次函数的图像
一元二次方程的根
有两相异实根
( )
有两相等实数根
没有实数根
的解集
的解集
4. 二次函数在闭区间上的最值问题
y=f(x)=a +k(a>0)在[m,n]上的最值问题.
(1)h∈[m,n]时, =k, =max{f(m),f(n)};
(2)h[m,n ]时,当h<m时,f(x)在[m,n]上单调,
= =
当h>n时,f(x)在[m,n]上单调递减,
= , = .
递增
f(m)
f(m)
f(n)
f(n)
典例分析
题型一一次函数性质的应用
【例1】一次函数y=(m+2)x+2m-1是增函数,且它的图象与y轴的交点在x轴的下方,求实数m的取值范围.
分析当k>0时,y=kx+b(k≠0)为增函数,其图象与y轴的交点为(0,b).
解∵y=(m+2)x+2m-1是增函数,
∴m+2>0. ①
又∵函数y=(m+2)x+2m-1的图象与y轴的交点在x轴下方,∴2m-1<0. ②
由①、②解得-2<m< .
学后反思函数y=kx+b(k≠0)解析式中参数k与函数单调性有关,k>0时,函数图象是上升的;k<0时,,b>0时,交于x轴上方;b=0时,交于原点;b<0时,=kx+b在y轴上的截距.
举一反三
1. 已知函数y=(2m-1)x+1-3m,m为何值时:
(1)这个函数为一次函数?
(2)函数值y随x的增大而减小?
(3)这个函数图象与直线y=x+1的交点在x轴上?
解析: (1)当m≠时,这个函数为一次函数.
(2)根据一次函数的性质,可知当2m-1<0,即m< 时,y随x的增大而减小.
(3)直线y=x+1与x轴交于点(-1,0),
将其代入y=(2m-1)x+1-3m中,得1-2m+1-3m=0,
∴m= .
题型二确定二次函数的解析式
【例2】二次函数f(x)与g(x)的图象开口大小相同,(x)的解析式和f(x)图象的顶点,写出函数f(x)的解析式.
(1)函数g(x)= ,f(x)图象的顶点是(4,-7).
(2)函数g(x)=-2 ,f(x)图象的顶点是(-3,2).
分析题中给出了顶点坐标,可用顶点式设出二次函数,再由g(x)确定a的值.
解如果二次函数的图象与y=a 的图象开口大小、方向都相同,设顶点坐标为(h,k),则其解析式为y=a +k.
(1)因为f(x)与g(x)= 的图象开口大小、方向都相同,f(x)的图象的顶点是(4,-7),所以f(x)= -7= -8x+9.
(2)因为f(x)与g(x)=-2 的图象开口大小、方向都相同,f(x)图象的顶点是(-3,2),所以f(x)=-2 +2=-2 -12x-16.
学后反思
(1)要求函数的解析式,由于已知函数的类型为二次函数,从而可
设y=a +bx+c(a≠0),根据已知条件列方程组求出参数a、b、c即可.
(2)二次函数的解析式有三种形式:
①一般式:y=a +bx+c(a、b、c为常数,a≠0);
②顶点式:y=a +k(a、h、k为常数,a≠0);
③两根式:y= (a、为常数,